I. Kirish II. Asosiy qism 1-bob. Funksional qator. Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari

2-bob. Funksional qator yig’indisining hamda funksional ketma – ketlik limit funksiyasining uzluksizligi


2.1. Funksional ketma-ketlikning tekis yaqinlashuvchiligi.
Faraz qilaylik, :

Funksional ketma-ketlik to’plamda yaqinlashuvchi (ya’ni yaqinlashish to’plami ) bo’lib, uning limit funksiyasi bo’lsin:
.
Ma’lumki, bu munosabat

Bo’lishini anglatadi. Shuni ta’kidlash lozimki, yuqoridagi natural son ixtiyoriy olingan son bilan birga qaralayotgan nuqtaga ham bog’liq bo’ladi (chunki, ning turli qiymatlarida ularga mos ketma-ketlik, umuman aytganda turlicha bo’ladi).
6-ta’rif. Agar son olinganda ham shu gagina bog’liq bo’lgan natural son topilsaki, va ixtiyoriy da

Tengsizlik bajarilsa, ya’ni

Bo’lsa, funksional ketma-ketlik to’plamda ga tekis yaqinlashadi (funksional ketma-ketlik to’plamda tekis yaqinlashuvchi) deyiladi.
shunday qilib, funksional ketma-ketlik to’plamda limit funksiyaga ega bo’lsa, uning shu limit funksiyasiga yaqinalishish ikki xil bo’lar ekan:

1. 
   
   

Bo’lsa, funksional ketma-ketlik da ga yaqinlashadi (oddiy yaqinlashadi). Bu holda

Kabi belgilanadi.
2)
Bo’lsa, funksional ketma-ketlik da ga tekis yaqinlashadi. Bu holda

Kabi belgilanadi.
ravshanki, funksional ketma-ketlik to’plamda funksiyaga tekis yaqinlashsa u shu to’plamda ga yaqinlashadi:
.
Aytaylik,

Bo’lsin . Bu holda va da
, ya’ni
Bo’ladi. Bu esa funksional ketama-ketlikning biror hadidan boshlab, keyingi barcha hadlari funksiyaning " -oralig’i"da butunlay joylashishini bildiradi (1-chizma)





0 x
1-chizma
Faraz qilaylik, funksional ketma-ketlik to’plamda limit funksiyaga ega bo’lsin.
4-teorema. funksional ketma-ketlik to’plamda funksiyaga tekis yaqilashishi uchun

bo’lishi zarur va yetarli.
◄ zarurligi. Aytaylik,

bo’lsin. Ta’rifga binoan

bo’ladi. Bu tengsizlikdan

bo’lib, undan

bo’lishi kelib chiqadi.


Yetarliligi. Aytaylik

bo’lsin. Limit ta’rifga ko’ra

bo’ladi. Ravshanki
.
U holda uchun

bo’ladi. Bundan

Bo’lishi kelib chiqadi.►
8-misol. Ushbu

Funksional ketama-ketlikning da tekis yaqinlashuv-chiligi ko’rsatilsin.
◄berilgan funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi

Bo’ladi. Endi

Ni topamiz:
.
Demak,

Bo’lib,

Bo’ladi.►
Eslatma. Agar funksional ketma-ketligi uchun to’plamda

Bo’lsa, funksional ketma-ketlik da tekis yaniqla-shishi shart emas.
Endi funksional ketma-ketlikning limit funksiyaga ega bo’lishi va unga tekis yag’inlashishini ifodalovchi teoremani keltiramiz: