I j 1-t a’rif. Uzunliklari teng va bir XIL yo‘nalishli barcha kes

^ 4-§. Vektorlar ustida chiziqli amallar
Vektorlar ustida bajariladigan quyidagi amallar chiziqli amallar deb ataladi.
1. Vektorlarni qo‘shish.
2. Vektorlarni ayirish.
3. Vektorlarni songa ko‘paytirish. ,
-Vektorlarni qo‘shish. Ta’rif. Ikkita vektorning yig‘indisi deb istalgan A nuqtadan vektorni qo‘yib, uning oxi­ri V ga vektorni qo‘yganda boshi vektorning boshi A da, oxiri vektorning oxiri S da bo‘lgan vektorga aytiladi
(10-chizma). vektorlarning
yig‘indisi bilan belgila¹-
nadi.
Vektorlarni qo‘shish ta’rifi-dan istalgan A, V va S uch nuq-ta uchun

tenglik o‘rinli bo‘lishi kelib YU- chizma chiqadi. tenglik vektorlarni
qo‘shishning uchburchak qoidasi deyiladi. Ikki kollinear vek­torni qo‘shish ham shu qoida bo‘-yicha bajariladi.
Vektorlarni qo‘shish amali quyidagi xossalarga ega:
1°. Qo‘shishning guruhlanish (assotsiativlik) xossasi. Har qan-
day vektorlar uchun
11-chizma munosabat o‘rinli.
I s b o t. Vektorlarni qo‘shishning uchbo‘rchak qoidasidan (11- chizma):

bundan ekani kelib ^chiqadi.
Qo‘shiluvchi vektorlarning soni ikkitadan ortiq bo‘lganda ular-ni qo‘shish ushbu qoida asosida bajariladi: berilgan
vektorlarning yig‘indisini hosil qilish uchun vektorning oxi-riga vektorning boshini suyish, keyin vektorning oxiriga v ektorning boshini qo‘yish va bu ishni vektor ustida bajarilgun-cha davom ettirish kerak, U vaqtda yyg‘indi vek-
tor boshi vektorning boshidan, oxiri esa vektorning oxiridan iborat vektor bo‘ladi.
Masalan, 12-chizmadagi vektor berilgan ^ vektor-
larni qo‘shishdan hosil bo‘lgan.
2^R. Qo‘shishning o‘rin almashtirish (kommutativlik) xossasi. Har
qanday ikkita va vektor uchun tenglik o‘rinli-
dir.
Isbot. va bo‘lsin* Ikki hol bo‘lishi mumkin:
*1) vektorlar kollinear emas. Bu holda nuqta-
lar bitta to‘g‘ri chizi^da yotmaydi (13-chizma).

' 13-chizma ' 14-chizma
ABS uchburchakni ABCD parallelogrammga to‘ldirsak, vektorlar-ny qo‘shishning uchburchak qoidasiga ko‘ra
bu ikki tenglikdan esa 2) bo‘lsin. Bu holda A, V, S nuqtalar bitta to‘g‘ri
chiziqda yotadi (14-chizma).
nuqtani olaylik, u hblda 1) holga ko‘ra- Lekin
bo‘lgani uchun

..... . (1)
Ikkinchi tomondan,
(2)
(1) va (2) tengliklardan tenglikka ega bo‘lamiz. a
3°. Har qanday vektorga nol vektorni qo‘shilsa, vekter hosil bo‘ladi, ya’ni
Buta’rnfdan bevosita su-yidagi xulosalar kelib chiqa-Di:
a) vektor uchun

b) uchun
v) vektor uchun
5)
g) va vektorlar o‘z* 16- chizma ^aR° «ollineardir;
16-a chizmada vektor 3 soniga ko‘paytirilgan: 16-6 chizmada vektor soni-
ga ko‘paytirilgan: .
SHuni ta’kidlaymizki, biror vektorni o‘zining uzunligi-
ga teskari • songa ko‘paytirilsa, shu vektor yunalishidagi bir-
lik vektor (ort) hosil bo‘ladi, ya’ni

Teorema. Agar bulsa, u hrlda shunday a son
mavjudki,
(4)
buladi.
I s b o t. bo‘lgani uchun quyidagi uch hol ^o‘lishi mumkin:
.1) bo‘lsa, bo‘lib, bundan bu
holda bo‘ladi;
2) bo‘lsa, bo‘lib, bundan
bu holda
3) bo‘lganda bundan A Demak, vektorni songa ko‘paytirish ta’rifidan va bu teorema-dan bunday xulosa chikaramiz; SHunday k_ilib (4) munosabat vektorlar kollinearligining zaruriy va etarli shartidir.
Vektorni songa kupaytiriщ suyidagi xossalarga ega:
G. Guruhlanish xossasi. Ixtiyoriy a vektor va har kan-day sonlar uchun
I (5)
munosabat o‘rinlidir.
Isbot. va... yo‘nalgan kesmalarni ola-

miz. hamda va bir xil yo‘nalishli kesmalar
ekanini ko‘rsatamiz:

bundan ko‘rinadiki,
Endi ekanini ko‘rsatish kerak. Bu erda quyidagi
hollar bo‘lishi mumkin:
1) bo‘lsin. Vektorni songa ko‘paytirish ta’rifi-ga ko‘ra va bo‘ladi. Ikkinchi tomondan,
bundan esa
Bu ikki munosabatdan: demak, va yo‘nalgan
kesmalar bir xil yo‘nalishli;
2) bo‘lsin, bu holda SHu bilan bir ga bundan esa
yoki bundan va dan
3) va hamda ning biri nolga teng bo‘lgan hollarda ham va bir xil yo‘-nalishli bo‘lib, (5) munosabatning bu hollarda ham o‘rinli ekani­ni ko‘rsatishni o‘quvchiga havola etamiz. A
j 2°. Har qanday vektor va ixtiyoriy sonlar uchun