mavzu. Vektorlar va ular ustida amallar

1-MAVZU. Vektorlar va ular ustida amallar
(1- 2 –ma’ruzalar, 4 soat)

REJA

1. 
   Vektor haqida tushuncha.
   
2. 
   Vektorlarni qо‘shish amali.
   
3. 
   Vektorlarni songa kо‘paytirish
   
4. 
   Vektorlar ustida amallarnining xossalari
   

Ta’rif-1. Yо‘nalishga ega bо‘lgan kesma vektor deb ataladi.
Biz vektorni kо‘rinishida yoki bitta kichik lotin harfi bilan kо‘rinishida belgilaymiz. Vektorni kо‘rinishida belgilasak nuqtalar mos ravishda vektorning boshi va oxiri joylashgan nuqtalardir, vektorning uzunligi , kо‘rinishida belgilanadi.
Agar vektorning boshi va oxiri bitta nuqtada bо‘lsa, u nol vektor deyiladi. Nol vektor yо‘nalishga ega emas, uning uzunligi esa nolga teng. Nol vektor kо‘rinishida yoziladi.



Ta’rif-2. Ikkita va vektorlardan vektor boshini vektor oxiriga qо‘yilganda vektor boshidan vektor oxiriga yо‘naltirilgan vektor, bu vektorlarning yig‘indisi deyiladi va kо‘rinishida yoziladi.
Yuqorida keltirilgan vektorlarni qо‘shish qoidasi uchburchak qoidasi deyiladi.
Ta’rif-3. Berilgan haqiqiy son va vektorning kо‘paytmasi shunday vektorki, uning uzunligi ga teng, yо‘nalishi: bо‘lganda vektor yо‘nalishi bilan bir xil, bо‘lganda esa vektor yо‘nalishiga qarama-qarshi bо‘ladi. Kо‘paytma kо‘rinishida yoziladi.
Biz bilan hamma vektorlar tо‘plamini belgilaymiz. Bunda vektorlarimiz bir tо‘g‘ri chiziqda, bir tekislikda yoki fazoda yotgan bо‘lishi mumkin.
Vektorlarni qо‘shish va skalyar songa kо‘paytirish amallari quyidagi xossalarga ega:
1. uchun; –kommutativlik.
2. uchun; -assosiativlik.
3. uchun
4. uchun; -birlik element.
5. hamda uchun
6. va uchun:
7. va uchun
8. uchun
Birinchi xossani isbotlash uchun ixtiyoriy ikkita va vektorlarning boshini bitta nuqtaga joylashtiramiz va

chizmadagi parallelogrammni hosil qilamiz. Bu parallelogrammdagi uchburchakdan tenglik, uchburchakdan esa tenglikni hosil qilamiz(Chizma-3).

Ikkinchi xossani isbotlash uchun vektorning boshini O nuqtaga, vektorning boshini vektorning oxiriga joylashtiramiz va vektorning boshini esa vektorning oxiriga joylashtiramiz. Chizmadan quyidagi tengliklarni hosil qilamiz


Har bir vektor uchun vektor vektorga qarama qarshi yо‘nalgan, uzunligi esa ning uzunligiga teng vektordir. Vektorlarni qо‘shish qoidasiga kо‘ra tenglikni hosil qilamiz.
Beshinchi xossani isbotlash uchun va vektorlarning boshlarini bitta nuqtaga joylashtirib, ular yordamida quyidagi parallelogrammni hosil qilamiz.

Berilgan son uchun va vektorlarga qurilgan parallelogramm parallelogrammga о‘xshashdir. Shuning uchun uning diagonali uzunligi parallelogramm diagonali uzunligidan marta “kattadir”. Bundan esa tenglikni hosil qilamiz.
Oltinchi xossani isbotlash uchun va hollarni qaraymiz. Birinchi holda va sonlarining ishorasi bir xil bо‘ladi. Shuning uchun ularning ikkalasi ham yoki manfiy yoki musbat bо‘ladi. Biz ularning ikkalasi ham manfiy bо‘lgan holni qaraylik. Bu holda , vektorlar vektorga qarama qarshi yо‘nalgan bо‘ladi. Demak ular bir xil yо‘nalishga ega. Ularning uzunliklari esa ga tengdir.Agar va sonlari musbat son bо‘lsa, yuqoridagi mulohaza takrorlanadi. va sonlarining ishoralari har xil bо‘lsa biz yana ikkita holni qaraymiz:
va . bо‘lganda , , vektorlar vektor bilan bir xil yо‘nalishga ega. vektorning boshini vektorning oxiriga joylashtirib, ularning uzunliklari ham tengligini kо‘ramiz.Chizmaga qarang. Qolgan hollar yuqoridagidek mulohazalar asosida tekshiriladi.