mavzu. Vektorlar va ular ustida amallar

Teorema-1. Ikkita vektordan iborat oila chiziqli bog‘lanishli bо‘lishi uchun bu oila vektorlarining kollinear bо‘lishi zarur va etarlidir.
Isbot. Oilaga tegishli ikkita va vektorlar chizikli bog‘lanishli bо‘lsa, kamida bittasi noldan farkli sonlari mavjud bо‘lib, tenglik bajariladi. Agar bо‘lsa, tenglikni hosil qilamiz. Bu esa birinchi tasdiqqa kо‘ra va vektorlarning kollinear ekanligini kо‘rsatadi.
Va aksincha, va vektorlar kollinear bо‘lsin. Ularning boshlarini bitta nuqtaga joylashtirsak, ular bitta tо‘gri chiziqda yotadi. Bu tо‘gri chiziqda vektorlar boshi joylashgan nuqtani koordinata boshi sifatida olib, koordinatalar sistemasini kiritamiz. Vektorlarning oxirlarini A va V harflar bilan belgilaymiz: , . Vektorlardan bittasi, misol uchun noldan farqli vektor bо‘lsin. Demak, va nuqta kesmani biror nisbatda bо‘ladi: yoki
Endi =- tenglikni kо‘rsatamiz. Agar vektorlar yо‘nalishi bir xil bо‘lsa, nuqta kesmaga tegishli emas va l<0. Agar vektorlar yо‘nalishi qarama qarshi bо‘lsa, l>0 bо‘ladi. Shuning uchun va - vektorlarning yо‘nalishlari bir xil. Ularning uzunliklari ham teng:
½ ½=½ ½=½ ½½ ½=½ ½½ ½=½-l ½.
Demak, bu vektorlar tengdir. Endi =- tenglikdan tenglik kelib chiqadi. Demak, va vektorlar chiziqli bog‘lanishli oilani tashkil qiladi.
Teorema-2.

1. 
   Vektorlar oilasiga nol vektor tegishli bо‘lsa, bu oila chiziqli bog‘lanishlidir.
   
2. 
   Vektorlar oilasi birorta chiziqli bog‘lanishli vektorlar oilasini о‘z ichiga olsa, bu oila ham chiziqli bog‘lanishlidir.
   

Isbot.

1. 
   Berilgan oilada bо‘lsa, , =1 , sonlar uchun tenglik о‘rinli bо‘ladi.
   
2. 
   Berilgan oilada bir nechta , , vektorlar chiziqli boglanishli oilani tashkil qilsa, ularning birorta notrivial chiziqli kombinasiyasi nol vektor bо‘ladi :
   

.

Biz agar , va , tengliklar bilan n ta l₁, l₂, l₃,..., l_n sonlarni aniqlasak

tenglikni hosil qilamiz.