I-bo’lim (bob). Xususiy hosilali diferensial tenglamalar

9-ma’ruza.Koshi masalasi yechimini beradigan formulalar va ularni tekshirish.
Bir jinsli bo’lmagan to’lqin tenglamasi
Reja
1. Bir jinsli bo’lmagan giperbolik turdagi tenglama uchun Koshi masalasi.
2. Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi.
3.Tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi va yechimning turg’unligi haqidagi teorema.
4.Yechimni davom ettirish usuli.
Tayanch so’z va iboralari.

1. 
   Tor tebranish tenglamasi.
   
2. 
   Koshi masalasi .
   
3. 
   Mavjudlik va yagonalik teoremalari.
   
4. 
   Yechimning turg’unligi.
   
5. 
   Yechimni davom ettirish
   

Quyidagi masalani qaraymiz.

= +f(x,t), (1)
U(x,0)=0, (x,o)=0 (2’)
Teorema 2.f, bo’lsin. U holda (1),(2’). Koshi masalaning echimi mavjud va yagona bo’ladi. Bu yechim quyidagi formula orqali ifodalanadi:

Bu teoremani isbotlash uchun quyidagi yordamchi lemmani keltiramiz.
Lemma. Quidagicha

bo’lsin. U holda agar bo’lsa,
bo’ladi,
Isbot. Ushbu formulaga ko’ra






Demak, .
Endi teorema 2 ni isbotlaymiz.
Yagonaligi. Faraz qilamiz, (1)-(2’) masalanig 2 ta yechimi mavjud bo’lsin:

deb belgilasak ,
, (1’)
V(x,0)=0, (2)
(1’)-(2) masalaning yechimi yagona edi; v(x,t)=0,
Mavjudligi. U(x,t)= funksiyani (1)-(2’) shartni qanoatlantirishini ko’rsatamiz.


Bu yerda bo’ladi.

Demak, (10) funksiya (1) ni qanoatlantiradi. Endi (10) funksiyani (2’) ni qanoatlantirishini ko’rsatamiz:
U(x,0)=
.
Teorema 2 isbotlandi.
Teorema 3. φ(x)∈ (R), Ψ(X) ∈ (R), f, ∈C( ) bo’lsin. U holda (1) -(2) Koshi masalasini yechimi mavjud va yagona bo’ladi va bu yechim quyidagi formula orqali ifodalanadi:
U (x,t)= (ξ,τ)dξdτ.

Isboti. 1)Yagonaligi. Faraz qulaylik, (1) -(2) ning ikkita echimlari mavjud bo’lsin. v= deb olamiz. U holda v-funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

, v(x,o)=0, v≡0, .
2)Mavjudligi. Yeshimni (11) formula orqali ifodalanishini isbotlaymiz.
v-funksiya quyidagi masalani yechimi bo’lsin:
, (1’)
v(x,o)=φ(x), (2)
Teorema 1 ga ko’ra, (1’), (2) masalaning v yechimi mavjud va yagona.
w funksiya quyidagi masalaning yechimi bo’lsin:
, (1)
w(x,o)=0, (2’)
Teorema 2 ga ko’ra (1) (2) ni yechimi mavjud va yagona. U=v+w begilash kiritamiz.
+ - ( ,+ ) =   =0+f(x,t).
 U funksiya (1) tenglamaning yechimi va
U(x,0)=v(x,0)+w(x,0)=φ(x)+0, 
Bundan yechimning mavjudligi kelib chiqadi. Dalamber va (10) formulalardan (11) formulani hosil qilamiz.
 (1)
tenglamaning yechimi
U(x,0)=φ(x),  (2)
boshlang’ich shart bilan bir qiymatli aniqlangan. Isbot qilamizki, bu yechim boshlang’ich shartlar uzluksiz o’zgarganda uzluksiz o’zgaradi.

Teorema. Har qanday ε>0 va har qanday  >0 uchun shunday δ(ε, ) topiladiki, agar quyidagi boshlang’ich shartlar
 va

uchun  δ ,  (3)
bajarilganda  o’rinli.
Isbot.  va  funksiyalar o’zlarining boshlang’ich shartlari bilan Dalamber formulasi orqali bog’langan, shuning uchun:

Bu yerdan (3)- tengsizliklarga ko’ra,

δ=  deb olsak,  bo’ladi.
Agar chegaraviy masala yechimi boshlang’ich shartlarga uzluksiz bog’liq bo’lsa, u holda chegaraviy masala yechimi turg’un yoki chegaraviy masala korrekt qo’yilgan deyiladi. Yechimi turg’un bo’lmagan masalaga doir misol keltiramiz. 
Laplas tenglamasining yechimi u(x,y) ushbu
u(x,0)=φ(x), 
boshlang’ich shartlari bilan bir qiymatli aniqlanadi.
Quyidagi funksiyalar

Laplas tenglamasini qanoatlantiradi. U^(2) ga parametr sifatida bog’liq.
Boshlang’ich shartlar


Yetarlicha katta  larda bir-biridan kichik farq qiladi: bunda har qanday fiksrlangan y ning qiymatlarida  funksiya yetarlicha katta bo’lishi mumkin. Ravshanki, Laplas tenglamasi uchun qo’yilgan boshlang’ich shartli masala korrekt qo’yilgan emas.
Davom ettirish usuli. Yarim chegaralangan chiziq uchun , ya’ni x≥0 da shu masalani qaraymiz. Quyidagi tenglamaning
 (1)
U(0,t)= yoki  (2)
sharti qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Avval bir jinsli chegaraviy shartni qaraymiz:
U(0,t)=0 yoki 
Tebranish tenglamasining chegaralanmagan chiziqqa aniqlangan yechimlarining ikkita xosssini keltiramiz;
Agar (1), (2), (3) masalada (3) boshlang’ich shartlar biror  nuqtaga nisbatan toq fnksiyalar bo’lsa, u holda  nuqtadagi qiymati nolga teng. Agar (1), (2), (3) masalada (3) boshlang’ich shartlar biror  nuqtaga nisbatan juft fnksiyalar bo’lsa, u holda mos yechimning x boyicha hosilasining  nuqtadagi qiymati nolga teng.
Isbot1).  =0 , ya’ni  sifatida koordinatalar boshini olamiz. Bu holda boshlang’ich shartlarning toqlik sharti quyidagicha yoziladi: Ф(x)=- Ф(-x), ψ(x)=- ψ(-x).

U(x,t)= (3)

U(0,t)=
bo’ladi.
2- xossa ham shu kabi isbotlanadi. Boshlang’ich shartlarni juftlik sharti:



Hosilasi esa  toq funksiya bo’ladi. Demak, (4) formuladan:

U(0,t)=

ni olamiz.
Bu ikki xossa yordamida quyidagi masalalarni yechish mumkin:
1-chegaraviy masala: ushbu
 (1)
tenglamaning
U(x,0)=  (2)
boshlang’ich shartlarni U(0,t) =0 chegaraviy shartini qanoatlantiruvchi U(x,t) yechimini toping.
 va ψ(x) funksiyalarni toq davomlari bo’lgan Ф(x) va Ψ(x) funksiyalarini qaraymiz:
 , 
.
U(x,t)=
funksiya barcha x,t>0 lar uchun aniqlangan 1-xossaga ko’ra U(x,t)=0.
Bundan tashqari, bu funksiyalar t=0 da quyidagi boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi: U(x,0)= Ф(x)= 
Shunday qilib, U(x,t) funksiyani faqat x>0,t>0 uchun qarab, yuqoridagi masalaning barcha shartlarini qanoatlantiruvchi funksiyani olamiz.
Eski funksiyalarga qaytsak, U(x,t) quyidagi ko’rinishni oladi.
U(x,t)=
Huddi shunga o’hshash x=0 da  bo’lsa, u holda φ funksiyalarni juft davomini hosil qilib
 , 
tebranish tenglamasiming yechimini olamiz:
U(x,t)=
yoki
U(x,t)=

va bu yechim x≥0 sohada (2) boshlang’ich shartni va  chegaraviy shartni qanoatlantiradi.olingan natijalarni quyidagi ikkita qoida orqali ifodalaymiz:

Yarim chegaralangan chiziqda U(0,t)=0 chegaraviy shartli masalani yechimi uchun boshlang’ich qiymatlarni butun chiziqqa toq davom ettirish kerak.
Yarim cheksiz chiziqdagi U_x(0,t)=0 chegaraviy shartli masalani yechish uchun boshlang’ich shartni butun to’g’ri chiziqqa juft davom ettirish kerak.
Chekli oraliqlar uchun masalalar.
(0,1) chekli oraliq uchun chegaraviy masalalarni qaraymiz.

tenglamaning quyidagi
U(0,t)=
chegaraviy shartni va
U(x,0)=φ , 
Boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Bir jinsli chegaraviy shart bo’lgan holni ko’raylik.
U(0,t)=0, 
Bu holda yechimni davom ettirish usuli bilan quyidagi ko’rinishda ishlaymiz:
U(x,t)=
U(x,0)= φ  , 0≤x≤1
Boshlang’ich shartlar (0,1)intervalda va funksiyalarining qiymatlarini aniqlaylik.
U(0,t)=U(1,t)=0 chegaraviy shartni qanoatlantirishi uchun  va  funksiyalarga x=0, x=1 nuqtalarga nisbatan bo’lishi talab qilinadi.

Bu yerda  uchun mah  , ya’ni va funksiyalar 2l davrli davrli funksiyalar bo’ladi. ko’rish mumkinki, toqlik sharti koordinatalar boshiga nisbatan va davriylik sharti  va  larni -∞