I-bo’lim (bob). Xususiy hosilali diferensial tenglamalar

10-11-ma’ruza. Gursa masalasi. Ketma-ket yaqinlashish usuli
Reja

1. 
   Gursa masalasining qo’yilishi
   
2. 
   Yechimning mavjudligi va yagonaligi.
   
3. 
   Umumiy chiziqli giperbolik tipdagi tenglama uchun Gursa masalasi.
   
4. 
   Ketma-ket yaqinlashish usuli.
   
5. 
   Yechimning mavjudligi va yagonaligi.
   

Tayanch so’z va iboralar.
1. Chiziqli giperbolik tipdagi tenglamalar
2. Gursa masalasi.
3.Ketma-ket yaqinlashish usuli.
Qo`shimcha shartlar yoki x=0, t-0 to`g`ri chiziqlarda, yoki tekislikdagi biror egri chiziqlarda berilishi mumkin. Masalan, chegaraviy shartlarni biror C<sub>1</sub>(x=f<sub>1</sub>(t)) egri chiziqda berish mumkin, hamda bunday masala yechimga ega bo`lishi talab etiladi.
Chegarasi qo`zg`aluvchan trubada gaz tebranish prosessini ko`rib chiqamiz. C<sub>1</sub>(x=f<sub>1</sub>(t)) egri chiziq t-0 chziqdan harakteristika bilan ajratigan bo`lishi kerak (rasmga qarang).


t
C₁:x=f₁(t)
x=at

0 x
Agar biror nuqtada C₁ chiziq x=at harakteristikadan pastda yotsa, u holda U(x,t) funksiyaning qiymati boshlangich shartlar bilan to`la aniqlanadi va ihtiyoriy berish mumkin bo`lmaydi.
Boshlangich shartlarni faqatgina t=0 da emas, balki biror C₂(t=f₂(x) chiziqda ham berish mumkin (| .
Biz quyda qiymatlar harakteristikalarda berilgan yechimni aniqlovchi masalani o`rganamiz. Bu chegaraviy masalani Gursa masalasi deyiladi:
U<sub>xy</sub>=f(x,y) (1)
U(x,0)=φ<sub>1</sub>(x), U(0,y)=φ<sub>2</sub>(y)
X=0 va y=0 (1) tenglamaning haakteristikalari bo`lib, bu chiziqda qo`shimcha shartlar berilgan. φ<sub>1</sub>(0)= φ<sub>2</sub>(0) shartni qanoatlantirsin. (1) tanglamani x va y bo`yicha ketma-ket integrallasak,
U_y(x,y)=U_y(0,y)+
U(x,y)=U(x,0)=U(o,y)=U(0,0)+ 
Yoki
U(x,y)= φ₁(x)+φ₂(y)-φ₂(0)+ (2)
Endi quyidagi chiziqli giperbolik tipdagi tenglama
U_xy=a(x,y)U_x+b(x,y)U_y+C(x,y)U+f(x,y) (3)
uchun x=0, y=0 harakteristikalarda qo`shimcha shartlar
U(x,0)=φ₁(x), U(0,y)= φ₂(x)
berilgan holda yechimni topamiz. Bu yerda φ₁(x),va φ₂(x) funksiyalardifferensiallanuvchi va φ₁(0)=φ₂(0). (3) formuladan
U(x,y)= (4)

Demak, U(x,y) funksiya (4) integro-differensial tenglamani qanoatlantrar ekan. Bu tenglamaning yechimini ketma-ket taqinlashish usuli bilantopamiz. Boshlangich yaqinlashishsifatida U₀(x,y)=0 funksiyani olamiz:
 (5)
Bu yerdan,
 (6)

Ushbu

ketma-ketliklarni tekis yaqinlashuvchiligini isbotlaymiz.
Buning uchun quyidagi ayrimani qaraymiz:



M-a(x,y),b(x,y),c(x,y)-koeffitsentlarining absolyut qiymatlarining yuqori chegarasini va H-x₀ ning Z_ox, Z_oy –hosilalarining absolyut qiymatlari bo`yicha yuqori chegarasi bo`lsin:
|Z_o|Z_n,Z_nx, Z_ny funksiyalar uchun majorant baholarni keltirib chiqaramiz. Ravshanki,
|Z₁|<3HMxy<3HM

Faraz qilaylik,quydagi rekurent baholar o`rinli bo`lsin.
|Z_n|<3HMⁿK^n-1 ,

bu yerda K>0- biror o`zgarmas son (K-ning qiymatini keyinroq aniqlaymiz). Bu baholarni va (n+1)-yaqinlashish formulasiga ko`ra quydagi tensizliklarni hosil qilamiz: 



 <
<

bu yerda k=2L+2. 
Bu tengliklarning o`ng tomonlarida e<sup>1lnm</sup> yoyilmasining umumiy hadlari turibdi. Bu baholardan ko`rinadiki,ushbu funksiyalar ketma-ketligi tekis yaqinlashuvchidir;
U_n=U₀+Z₁+…+Z_n-1
 ,  ;

(5) va (6) formulalarda integral belgisi ostida limitga o`tsak,

 (7)

Bu yerda V=U_x , W=U_y kelib chiqadi va demak, U(x,y) funksiya quydagi integro-differensial tenglamani qanoatlantiradi:

Bundan tashqari, U(x,y) (3) differensial tenglamani qanoatlantiradi, bu esa (4) ni x va y bo`yicha bevosita differensiallesh bilan tekshiriladi.
Endi qaralayotgan masala yechimining yagonaligini isbotlaymiz.faraz qilaylik, 2ta U₁(x,y) va U₂(x,y) yechimlar mavjud ushbu integro-differensial tenglamani olamiz:

H₁-oraliqqa quydagi U₁U_x+U_y larnihng absolyut qiymatlarining yuqqori chegarasini belgilaylik:
|U|1, |U_x|1, |U_y|< H_{1, }
z_O(x,y) funksiyalar uchun baholarni takrorlab, ushbu tengsizliklarni o`rinli ekanini ko`rsatamiz:

Bu yerdan U(x,y)=0 yoki U₁(x,y)= U₂(x,y)
Shunday qilib, qiymatlari xarakteristikalarda berilgan masalaning yechimi yagona ekan.
Agar a,b,c-koeffisiyentlaro`zgarmas bo`lsa, u holda (3) tenglama U=V almashtirish bilan V_xy+C₁V=1 (8)
ko`rinishga keladi. C<sub>1</sub>≠0bo`lsa, (1) oddiy ko`rinishda tenglama uchun masalaning yechimi ko`rinishi yuqqoridagi usul yordamida hosil qilishi mumkin.