I-bo’lim (bob). Xususiy hosilali diferensial tenglamalar

17,18-ma’ruza
Mavzu: Bir jinsli bo’lmagan tor tenglamasi
Reja

1. 
   Bir jinsli bo’lmagan giperbo’lik tenglama uchun nol chegaraviy shartli masalani Furye usulida yechish.
   
2. 
   Umumiy 1-chegaraviy masala yechimining ko’rinishi.
   

Tayanch so’z va iboralar
1.Bir jinsli bo’lmagan giperbo’lik tenglama.
2.Bir jinsli bo’lmagan giperbo’lik tenglama uchun nol chegaraviy shartli masala.
3.Umumiy 1-chegaraviy masala.
Quyidagi masalani qaraymiz: Ushbu
 = +f(x,t),  , 00 (1)
tenglamaning
 (x,o)=φ(x),  (x,t) =ψ(x) 0≤x≤1 (2)
boshlang’ich shartlarni va
U(x,0)=0, U(x,1)=0 , t≥0 (3)
Chegaraviy masalalarni qanoatlantiruvchi echimni toping.
Masalaning yechimini x bo’yicha Fur’ye qatori ko’rinishida izlaymiz.
U(x,t)= (ι)x, (4)
Bu yerda t- parametr sifatida qaraladi. U(x,t) ni topish uchun  (t) funksiyani aniqlash kerak, f(x,t)fuksiyani va boshlang’ich shartlarni Fur’ye qatorlari ko’rinishda ifodalaymiz:
 (x,t)= (t)  (t)= (ξ,t) ξdξ.
φ(x)=  = (ξ,t) ξdξ (5)
ψ(x)=  = ξdξ.
(4) yechimni (1) tenglamaga qo’yamiz:
 a²( U_n(t)-U_n(t)+ f_n(t)}=0
Bundan
U_n(t)+ ( a²U_n(t)-f_n(t) (6)
U_n(t) ni aniqlash uchun o`zgarmas koeffisiyentli oddiy differensial tenglamani hosil qildik.
U(x,0)=φ(x)= 
U(x,0)=ψ(x)= 
Bu yerdan: U<sub>n</sub>(0)=φ<sub>n</sub>, u<sub>n</sub>(0)=ψ<sub>n</sub> (7)
U<sub>n</sub>(t) ni quydagi ko`rinishda ifodalaymiz:
 (8)
bir jinsli bo`lmagan tenglamaning  boshlangich shartli yechimi va
 (9)
bir jinsli tenglamaning  boshlangich shartli yechimi. Shunday qilib,
U(x,0)=

(10)
(5) ga ko`ra, f_n(t)= 

Umumiy 1-chegaraviy masala: ushbu tenglamaning
U_tt=a²U_tt+f(x,t) (1)
U(x,0)=φ(x), U_t(x,0)=ψ(x) (2)
U(0,t)=μ₁(t), U(l,t)= μ₂(t) (3)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yangi noma’lum funksiya V(x,t) ni kiritamiz: U(x,t)=W(x,t)+V(x,t), W(x,t)-ma`lum funksiya ushbu tenglamaning echimi sifatida aniqlanadi:
V<sub>tt</sub>=a<sup>2</sup>U<sub>xx</sub> +f<sub>0</sub>(x,t), f<sub>0</sub>(x,t)=f-[W<sub>tt</sub>-a<sup>2</sup>W<sub>xx</sub>],
V(x,0)=φ<sub>0</sub>(x), φ<sub>0</sub>(x)= φ(x)-W<sub>t</sub>(x,t)
V<sub>t</sub>(0,t)=μ<sub>01</sub>(t), μ<sub>01</sub>(t)= μ<sub>1</sub>(t)-W(0,t);
V<sub>t</sub>(l,t)=μ<sub>02</sub>(t), μ<sub>02</sub>(t)= μ<sub>2</sub>(t)-W(l,t);
V(x,t) –yotuvchi funksiyani shunday tanlkaymizki, μ<sub>01</sub>(t)=0, μ<sub>02</sub>(t)=0 bo`lsin. Buning uchun W(x,t)=μ₁(t)+x/1[μ₂(t)-μ₁(t)].
Shunday qilib, U(x,t) funksiya uchun umumiy 1- chegaraviy masala V(x,t) funksiya uchun chegaraviv shartlarning nol bo`lgan chegaraviy masalaga keladi. Bu masalani Fur’ye usuli bilan o`tgan maruzadagi kabi yechish mumkin.
Statsionar bir jinslimas chegaraviy masalalar.
Bunday masalalar sifati juda muhim bo`lib, bunda chegaraviy shartlar va tenglamaningo`ng tomoni vaqtga bog`liq emas:
U<sub>tt</sub>=a<sup>2</sup>U<sub>tt</sub>+f(x,t) (1)
U(x,0)=φ(x), U<sub>t</sub>(x,0)=ψ(x) (2)
U(0,t)=μ<sub>1</sub>(t), U(l,t)= μ<sub>2</sub>(t) (3)
Bu holda yechimni U(x,t)=U<sub>0</sub>(x)+v(x,t) ko`rinishda izlaymiz, bu U₀(x)- torning stotsionar xolati bo`lib, ushbu shartlardan aniqlanadi:
a^2 U₀(0)=u₁, U₀(t)=u₂.