I-bo’lim (bob). Xususiy hosilali diferensial tenglamalar

So’z boshi
Xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariysida matematik fizikaning masalalari turli fizik jarayonlarni o’rganish bilan bog’langan bo’lib, matematikaning bu bo’limi o’zining amaliy tadbiqi bilan boshqa bo’limlardan farq qiladi. Unda asosan fizik jarayonlarni ifodalovchi masalalarni yechishning matematik usulllari o’rganiladi.
Ushbu ma’ruza matnlari 72 soatlik ma’ruzalarni o’z ichiga oladi. Bunda asosan, ikkinchi va undan yuqori tartibli xusisiy hosilali differensial tenglamalar o’rganilib, bu tenglamalar tiplarga ajratiladi. Keyin xar bir tipga mansub tenglamalarni o’rganish, qaralayotgan tipdagi tenglamaga keladigan oddiy fizik masalalar bilan boshlanadi. Matematik fizika tenglamalari uchun asosiy chegaraviy masalalar qo’yiladi va bu masalalar yechiminig mavjudligi, yagonaligi va turg’unligi haqidagi teoremalar isbotlanadi. Chegaraviy masalalarni yechish usullari bo’yicha keng ma’lumot beriladi.

I-bo’lim (bob). Xususiy hosilali diferensial tenglamalar
1 - Ma’ruza.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimlari to’g’risida tushunchalar. Xarakteristik forma
Reja:
1. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimi
to’g’risida tushuncha.
2. Xarakteristik forma tushunchasi.
Tayanch so’z va iboralar

1. 
   Kvazichiziqli va chiziqli xususiy hosilali ikkinchi tartibli differensial tenglamalar .
   
2. 
   Bir jinsli tenglamalar .
   
3. 
   Xarakteristik forma.
   

_1. bo’lib -ochiq bog‘lamli soha bo‘lsin. -Evklid fazosi - ortogonal dekart koordinatalar sistemasidagi nuqta- ning koordinatalari.
Tartiblangan manfiy bo’lmagan ta butun sonning
ketma-ketligi -tartibli mu’lteindeks deyiladi, son mu’lteindeksning ug‘unligi deyiladi. funksiyaning nuqtadagi tartibli hosilasini
_,
Xususiy holda, bo‘lganda
, ,
funksiya sohada nuqtaning va , haqiqiy o’zgaruvchining berilgan funksiyasi bo’lib, kamida bitta hosila noldan farqli bo’lsin.
Ushbu
(1)
tenglik noma’lum funksiyaga nisbatan tartibli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
(1) tenglamaning o‘ng tomoni esa xususiy hosilali differensial operator deyiladi.
Agar barcha o’zgaruvchilarga nisbatan chiziqli funksiya bo’lsa, (1) tenglama chiziqli differentsial tenglama deyiladi.
Agarda , bo’lganda barcha o‘zgaruvchilarga nisbatan chiziqli funksiya bo’lsa, (1) tenglama kvazichiziqli differentsial tenglama deyiladi.
Misollar:
1)
- bu uchinchi tartibli ikki o’zgaruvchili chiziqli tenglama.
2)
- bu ikkinchi tartibli uch o’zgaruvchili kvazichiziqli tenglama.
3)
- bu uchinchi tartibli ikki o’zgaruvchili chiziqli bo’lmagan tenglama.
sohada aniqlangan funksiya (1) tenglamada ishtirok etuvchi barcha hosilalarri bilan uzluksiz bo’lib, uni ayniyatga aylantirsa, ga (1) tenglamaning regulyar (klassik) echimi deyiladi.
Xususiy hosilali tartibli chiziqli differensial tenglamani ushbu
(2)
ko’rinishda yozib olish mumkun.
Barcha lar uchun (2) tenglamaning o’ng tomoni nolga teng bolsa, (2) tenglama bir jinsli, funktsiya nolga teng bo’lmasa, bir jinsli bo’lmagan
tenglama deyiladi. Agar va funktsiyalar bir jinsli bo’lmagan (2) tenglamaning echimlari bo’lsa, ravshanki ayirma bir jinsli tenglamaning yechimi bo’ladi.
Agarda , funktsiyalar bir jinsli tenglamaning yechimlari bo’lsa, funktsiya ham, bu yerda haqiqiy o’zgarmaslar, shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Xususiy hosilali ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama
(3)
ko’rinishda yoziladi, bu erda , , , sohada berilgan haqiqiy funktsiyalardir. (3) tenglamaning barcha , koeffiisientlari nolga teng bo’lgan nuqtalarda tenglama ikkinchi tartibli bo‘lmay qoladi, ya’ni bu nuqtalarda tenglamaning tartibi buziladi. Bundan keyin barcha da

deb hisoblaymiz. (3) tenglamada bo’lganda alohida-alohida , qo’shiluvchilar ishtirok etmay, balki ularning yig’indisi ishtirok etadi. Shu sababli ham umumiyatlika ziyon etkazmay hamma vaqt deb hisoblaymiz.
Eslatib o’tamiz sohada aniqlangan va tartibgacha xususiy hosilalri bilan uzluksiz bo’lgan haqiqiy funksiyalarning to’plamini orqali belgilaymiz.
2.Faraz qilaylik (1) tenglamada ishtirok etayotgan funksiya,
o’zgaruvchilar bo’yicha uzluksiz hosilaga ega bo’lsin. (1) tenglamalar nazariy asida haqiqiy o’zgaruvchilarga nisbatan ushbu
, (4)
tartibli forma darajali bir jinsli ko’phad muhim ro’l o’ynaydi. Bu forma (1) tenglamaga mos bo’lgan xarakteristik forma deyiladi.