I-bo’lim (bob). Xususiy hosilali diferensial tenglamalar

6-ma’ruza
Mavzu: Matematik fizika tenglamalari uchun asosiy masalalarning qo’yilishi
Reja:
1. Asosiy masalalarning qo‘yilishi.
2. Koshi masalasi va uning qo‘yilishida xarakteristikalarning ro‘li.
3. Elliptik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar. Aralash va boshqa masalalar.
4.Tor tebranish tenglamasi uchun chegaraviy va boshlang’ich shartlar.
5.Chegaraviy masalalarni qo’yilishi.
6. Korrekt qo‘yilgan masala tushunchasi.
Tayanch so’z va iboralar.
1.Koshi masalasi, chegaraviy masala, aralash masala.
2.Giperbolik tipdagi tenglamalar.
3.Chegaraviy shartlar.
4.Boshlang’ich shartlar.
5.1-,2-,3-chegaraviy masalalar.
6.Korrekt qo’yilgan masala.
1.Bizga yahshi ma’lumki, tebranish tenglamalari
(1)
issiqlik tarqalish tenglamasi
(2)
stasionar jarayonlar tenglamasi
(3)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Biror fizik jarayonni to‘la o‘rganish uchun bu jarayonni tasvirlayotgan tenglamalardan tashqari, uning boshlang‘ holatini va jarayon sodir bo‘layotgan sohaning chegarasidagi holatini berish zarurdir.
Matematik nuqtai nazaridan bu narsa differensial tenglamalar yechimining yagona emasligi bilan bog‘liq.
Xususiy hosilalai differensial tenglamalar uchun umumiy yechimi ihtiyoriy funksiyalarga bog‘liq bo‘lib, bu funksiyalarning soni tenglama tartibiga teng bo‘ladi. Ihtiyoriy funksiyalar argumentlarning soni yechimi argumentlarning sonidan bitta kam bo‘ladi. Misollar keltiramiz:
1) tenglamaning yechimi _.
2) tenglamaning yechimini topish uchun almashtirish bajaramiz, u holda

Xuddi shunga o‘xshash, agar va o‘zgarmas sonlar bo‘lsa,
tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi.
3) tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi.
4) bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning yechimi

ko‘rinishda bo‘ladi.
5) 3-tartibli tenglamaning umumiy yechimi : _.
Shunday qilib, aniq fizik jarayonni ifodalovchi yechimni ajratib olish qo‘shimcha shrtlarni berish zarurdir. Bunday qo‘shimcha shartlar boshlang‘ich va chegaraviy shartlardan iboratdir.
Jarayon sodir bo‘layotgan soha bo‘lib, uning chegarasi bo‘lsin. ni bo‘laklari silliq sirt deb hisoblaymiz. bu asosi soha balandligi bo‘lgan silindir bo‘lsin, uning chegarasi yon sirti , quyi va yuqori asoslardan iborat.
Differensial tenglamalar uchun, asosan uch tipdagi masalalar bir-biridan farq qiladi.
a) Koshi masalasi. Bu masala, asosan, giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar uchun qo‘yiladi. soha butun fazo bilan ustma-ust tushadi, bu holda chegaraviy shrtlar bo‘lmaydi.
b) Chegaraviy masala elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo‘yiladi, da chegaraviy shatrlar beriladi, boshlang‘ich shartlar tabiiy bo‘lmaydi.
g) Aralash masala giperbolik tipdagi tenglamalar uchun qo‘yiladi:
bo‘lib boshlang‘ich va chegaraviy shratlar beriladi.
2. (1) tenglama uchun Koshi masalasi: sinfga tegishli, yarim fazoda (1) tenglamani va da
(4)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin.
(2) tenglama uchun Koshi masalasi: sinfga tegishli, yarim fazoda (2) tenglamani va
(5)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin.
Koshi masalasi qo‘yilishida sirtni xarakteristik sirt bo‘lmasligi muhimdir. Agar sirt xarakteristik sirt bo‘lsa, boshlang‘ich shartlarda verilgan va funksiyalar o‘zaro bog‘langan bo‘lib qoladi. Demak xarakteristik sirtda boshlang‘ich shartlarni ixtiyoriy berilishi
mumkin emas. Bu holda Koshi masalasi umuman yechimga ega bo‘lsa ham u yagona bo‘lmaydi. Bunga misol keltiramiz:
(8)
tenglamaning
(9)
boshlang‘ich shrtlarni qanoatlantruvchi yechimini aniqlang.
to‘g‘ri chiziqlar oilasi, jumladan ham berilgan tenglamaning xarakteristikalardan iborat. Demak, boshlang‘ich shartlar xarakteristikada berilyapti. (8) tenglamaning umumiy yechimi
_. (10)
Umumiylikka zarar keltirmasdan deb olamiz.
Boshlang‘ich shartlarga asosan

Agar bo‘lsa oxirgi tenglikning bajarilishi mumkin amas, bu holda Koshi masalasi yechimga ega bo‘lmaydi.
Shunday qilib, bo’l gandagina Koshi masalasi echimga ega bo‘ladi. Bu holda
_,
bu yerda sinfga tegishli va shartlarni qanoat-lantiruvchi funksiya.
Agar bo’lsa, Koshi masalasining yechimi mavjud bo‘lib, u yechim
(11)
formula bilan aniqlanadi lekin yechim yagona emas.
3. Ushbu
(12)
(12) elliptik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masala bunday qo’yiladi; sohada (12) tenglamani va chegarada quyidagi shartlardan bittasini qanoatlantiruvchi funksiya topilsin:
I. II. III.
Bu yerda sirtga o’tkazilgan tashqi normal , , , va da berilgan uzluksiz funksiyalar.
Masalalarni qo’yishdan darhol shu narsa ma’lumki, I holda funksiya sinfga, II, III hollarda esa sinfga tegishli bo’lishi kerak.
Bu masalardan I ni birinchi chegaraviy masalasi yoki Dirixle masalasi, II ni ikkinchi chegaraviy masala yoki Neyman masalasi, III ni esa uchinchi chegaraviy masala deyiladi.
Yuqorida keltirilgan masalalardan no’malum funksiya sohada izlangani uchun ularni mos ravishda ichki masalalar deb yuritiladi. Xuddi shunga o’xshash, chegaralangan sohaning tashqarisida (tashqi masalalar) chegaraviy masalalar qo’yiladi. Bularning farqi shundaki, dagi chegaraviy shartlardan tashqari, soha cheksiz bo’lgani uchun, cheksiz uzoqlashgan nuqtada ham shart beriladi. Masalan, bunday shartlar Laplas tenglamasi uchun da
yoki
ko’rinishda bo’lishi mumkin.
Yuqoridagilarga o’xshash sohada berilgan umumiy ikkinchi tartibli chiziqli
(13)
tenglama uchun chegaraviy masalalar qo’yiladi.
sohada (2) tenglamaning
(14)
shartni qanoatlantiruvchi regulyar yechimi topilsin.
Bu yerda va da berilgan funksiyalar; va deganda nuqta sohaning ichidan nuqtasiga intilgandagi bu funksiyalarning limit qiymatlari tushuniladi. (13), (14) masala Puankere masalasi deyiladi.
Barcha da , bo’lgan holda (14) chegaraviy shartni
(15)
ko’rinishda yozib olish mumkin. (13), (15) masala birinchi chegaraviy masala yoki Dirixle masalasi deyiladi.
da bo’lganda, Puankere masalasining xususiy holi
(16)
masala hosil bo’adi. (13), (16) masala qiya hosilali masala deyiladi.
sirtning nuqtasidagi yo’naltiruvchi kosinuslari

bo’lgan birlik vektorni – konormalni orqali belgilaymiz. Bu yerda sirtga nuqtada o’tkazilgan tashqi normal,

Agar (5) chegaraviy shartda barcha da bo’lsa, qiya hosilali masala ikkinchi chegaraviy masala yoki Neyman masalasi deyiladi.
Aralash masala. Tebranishlar tenglamasi (giperbolik tip), yani
(17)
tenglama uchun aralash masala bunday qo’yiladi:
sinfga tegishli, silindrda (17) tenglamani, ( silidrning quyi asosi) da

boshlang’ich shartlarni va ( ning yon sirti)da I, II yoki III chegaraviy shartlardan bittasini qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Boshqa masalalar. Ikkinchi tartibli ikki o’zgaruvchili kanonik ko’rinishga keltirilgan ushbu
(18)
umumiy chiziqli tenglama berilgan bo’lsin . Bu tenglamaning xarakteristikalari tenglamasi dan iborat. Bundan to’gri chiziqlar oilasini hosil qilamiz.
Uchlari A, B, C va D nuqtalarda, tomonlari (18) tenglamaning xarakteritikalaridan iborat bo’lgan to’rtburchakni orgali belgilab olamiz. Odatda bu to’rtburchak xarakteristik to’rtburchak deyiladi (1-chizma).
Gursa masalasi. to’rtburchakda regulyar, da uzluksiz va

shartlani qanoatlantiruvchi (7) tenglamaning yechimi topilsin.

1-chizma

Masalaning qo’yilishiga asosan, va funksiyalar berilgan sohasida uzluksiz va shart bajalishi zarur. Demak, Gursa masalasida (18) tenglamaning ikkita kesishadigan xarakteristikalarida bitta chegaraviy shart beriladi.

Gursa masalasida shartlar xarakteristikalarda berilgani uchun bu masala xarkteristik masala deb ham yuritiladi.
Endi orqali o’qining ixtiyoriy kesmasi va (18) tenglamaning xarakteristikalri bilan chegaralangan uchburchakni belgilaymiz. Bu uchburchak xarakteristik uchburchak deyiladi (2-chizma).
2-chizma
Darbu (Koshi-Gursa) ning birinchi masalasi. da regulyar, da uzluksiz va

shartlarni qanoatlantiruvchi (18) tenglamaning yechimi topilsin, bunda va berilgan funksiyalar, shu bilan birga .
Darbu ( Koshi-Gursa ) ning ikkinchi masalasi. da regulyar, da uzluksiz, AB kesmagacha birinchi tartibli hosilalarga ega bo’lsin va

shartlarni qanoatlantiruvchi (7) tenglamaning yechimi topilsin, bunda .
Aralash tipga tegishli
(19)
tenglamani tekshiramiz, bo’lganda bu tenglama Trikomi tenglamasi bilan ustma-ust tushadi, bo’lganda esa (8) tenglama Lavrent’ev-Bidsadze tenglamasi deyiladi.
Aralash tipdagi tenglama berilgan soha aralash soha deb yuritiladi.
o’zgaruvchilar tekisligida bo’lganda uchlari nuqtalarda bo’lgan Jordan egri chizig’i bilan da esa (8) tenglamaning

xarakteristikalari bilan chegaralangan bir bog’lamli aralash soha bo’lsin.
Trikomi masalasi. sohada regulyar, sinfga tegishli, egri chizqda va AC yoki BC xarakteristikalardan bittasida, masalan AC da berilgan qiymatlarni qabul qiluvchi yani

shartlarni qanoatlantiruvchi (8) tenglamaning yechimi topilsin.
Shu bilan birga va bo’lishi zarur.
4. Biz - tekislikda quyidagi chegaralangan torni qaraymiz. Tor 0 va 1 nuqtalarda mahkamlangan bo’lsin, ya’ni torni chetlari mahkamlangan.
U holda quyidagi chegaraviy shart bajariladi.
U(0,t)=0, U(1,t)=0, (*)
Bundan tashqari, “boshlang’ich shart” lar beriladi, ya’ni ,
U(x, )=φ(x),
Demak, qo’shimcha shartlar: chegaraviy va boshlang’ich shartlardan iborat ekan, bu yerda
φ(x), berilgan funksiyalar. Keyinchalik ko’rsatamizki, bu shartlar
(1)
tor tebranish tenglamasini yechimini aniqlaydi.

1. 
   tenglamani x=0 , x=1 nuqtalarda qanoatlantirishi shart emas.
   

Agar torni chetlari ma’lum berilgan qonun bo’yicha harakat qilsa , u holda (*) – shart boshqa ko’rinishga ega bo’ladi:
U(0,t)=
5. 1- chegaraviy masala: Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi U(x,t) funksiyani topamiz.

1. 
   U(x,t)∈C(0≤x≤1, t≥0)∩
   

va sohada (1) tenglamani qanoatlantiradi.
2) U(x,t) chegaraviy va boshlangich shartlarni qanoatlantiradi:
U(x,0)= U_t(x,0)= , 0 (2)
U_x(0,t)= , U(l,t)= (3)
2-chegaraviy masala:
U_x(0,t)= , U(l,t)= (3^’)
(1),(2),(3’)qanoatlantiruvchi yechimnitopish masalasi 2-chegaviy masala deyiladi.
3-chegaraviy masala:
(3’’)
ni qanoatlantiruvchi yechimni toppish masalasi 3-chegaraviy masala deyiladi.
Koshi masalasi (boshlang’ich shartli masala, cheksiz soxa uchun).
(1)
va quyidagi boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi
(2)
funksiyani toping.
Umumiy masala reduksiyasi.
Ma’lumki, qiyin masalalarni yechishda nisbatan oddiyroq bo’lgan masalalarni yechishga olib kelishga xarakat qilinadi. Shu maqsadda umumiy chegaraviy maslaning yechiminibir nechta xusisiy chegaraviy masalalar yechimlarining yig’indisi ko’rinishida ifodalaymiz.
funksiya berilgan bo’lsin.

,
,
Ravshanki , yechimlarining superpazitsiyasi o’rinli
,


Bu superpazitsiya prinspi ixtiyoriy qo’shimcha chiziqli shartli chiziqli tenglamalar uchun ham o’rinlidir.
Ushbu umumiy chegaraviy masalaning



yechimi ko’rinishda ifodalanishi mumkin. Bu yerda quyidagi xususiy chegaraviy masalalarni yechimlari:


,
6. Biz yuqorida ko’rdikki, matematik fizika masalarining qo’yilishida ayrim funksiyalar (boshlang’ich, chegraraviy shartlar) ishtirok etadi: qo’yilgan masalaning yechimi tabiiy, shu funksiyalarga bog’liq bo’ladi. Bu funksiyalar, odatda, tajriba asosida aniqlanadi, shuning uchun ham ularni absolyut aniq topish mumkin emas.
Demak, boshlangich va chegaraviy shartlarda hamma vaqt biror xatolikning bo’lishi muqarrardir. Bu xatolik o’z navbatida yechimga ham ta’sir qiladi. Boshlang’ich va chegaraviy masalalarni tekshirishda, yechimning mavjudligi va yagonaligidan tashqari boshlang’ich va chegaraviy shartlarda qo’yilgan xatolikning yechimga qanday ta’sir qilishini aniqlash ham muhim ahamyatga egadir.
Bu fikrni aniqroq bayon qilish uchun tekshiralayotgan masalani – orqalai belgilab olamiz. Har qanday masalaning mohiyati berilgan funksiyalarga asosan yechimni topishdan iboratdir, bu yerda, va - metrikalari va bo’lgan qandaydir metrik fazolar. Bu fazolar masalaning qo’yilishi bilan aniqlanadi. masalaning yechimi tushunchasi aniqlangan bo’lib, har bir elemenga yagona yechim mos kelsin.
Agar ixtiyoriy uchun shunday sonni ko’rsatish mumkin bo’lib, tengsizlikdan tengsizlik kelib chiqsa, masala ( , ) fazolar juftida turg’un masala deyiladi.
Bunda masalaning yechimi berilgan shartlar ( boshlang’ich va chegaraviy shartlar, tenglamaning koeffitsentlari, ozod had va h.k ) ga uzluksiz bog’liq bo’ladi.
Agar tekshirilayotgan masala uchun ushbu
1) ixtiyoriy uchun yechim mavjud;
2) yechim yagona;
3) masala ( , ) fazolar juftligida turg’un shartlar bajarilsa, masala ( , ) fazolar juftligida korrekt ( to’g’ri ) qo’yilgan yoki to’g’ridan-to’g’ri korrekt masala deyiladi.
Aks holda masala korrekt qo’yilmagan masala deyiladi, yani bu holda yuqoridagi talablardan kamida bittasi bajarilmaydi.
Shu narsani ta’kidlab o’tamizki, korrekt qo’yilagan masala ta’rifi berilgan ( , ) juftlikka taaluqlidir, chunki boshqa metrikalarda shu masalning o’zi korrekt qo’yilgan bo’lishi ham mumkin.
Koshi-Kovalevskaya teoremasi, uning umumiylik tavsifiga ega ekanligiga qaramasdan differentsial tenglamaning normal sistemasi uchun Koshi masalasi korrekt qo’yilganligini to’la hal qilmaydi.
Haqiqatdan ham, bu torema masala yechimining yetarli kichik sohada mavjud va yagonaligini ta’min etadi. Odatda, bu dalillarni avalldan berilgan ( umuman kichik bo’lmagan ) sohalarda to’g’ri ekanligini ko’rsatish talab qilinadi. Bundan tashqari, tenglamaning ozod hadi va boshlang’ich shartlari, umuman olganda, analitik bo’lmagan funksiyalar bo’ladi,
Nihoyat, yechim boshlang’ich shartlarga uzluksiz bog’liq bo’lmasligi ham mumkin. Bu dalilni ko’rsatuvchi misol birinchi marta Adamar tomonidan tuzilgan. Korrekt qo‘yilmagan masalalarga misollar keltiramiz.

1.