I-боб. Умумий тушунчалар

4-§. Тўпламлар алгебраси


Айниятлар. Теоремалар. Де Морган šонуни. Жуфт-жуфт эквивалент.

Тўпламлар алгебрасида – ,  белгилар ўртасидаги ўзаро муносабатлар кўриб чиšилади. Тўпламлар алгебрасида умуман оддий алгебрадагидай айниятлар - тенгликлар кўрилади. Бу айниятлар универсал тўпламнинг ва унинг хос šисм тўпламларининг šандай бўлишидан šатъий назар ўз кучини саšлайдилар.

1-теорема. универсал тўпламнинг исталган šисмлари орасидаги муносабатларни ифодаловчи šуйидаги тенгликлар айниятдир:
1. 1^.
2. 2^.
3. 3^.
4. 4^.
5. 5^
Агар ва бўлса, у ваšтда . Ана шу хоссадан фойдаланиб юšорида келтирилган айниятлар исбот этилади, яъни тенгликнинг чап томонидаги ќар бир элемент унинг ўнг томонида ќам мавжуд ва аксинча эканлигини кўрсатиш керак. Биз юšоридаги айниятларнинг айримларини исбот этган эдик.
1 ва 1^ - айниятларни мос равишда йиђинди ва кўпайтма амаллари учун ассоциативлик šонунлари дейилади. 2 ва 2^ - айниятлари эса - коммутативлик šонуни ва 3, 3^ -айниятлари бўл-са, шу амаллар учун дистрибутивлик šонуни дейилади.
Ассоциативлик šонунига асосан šисм тўпламлардан маълум тартибда йиђинди амали билан ќосил этилган икки тўплам тенгдир.
Бу тўпламни шаклда белгилаймиз.
Ассоциатив šонунига кўра šавс белгиси šаерда туриши ќеч šандай роль ўйнамайди. Математик индукция методига асосан

бу ерда , белгилашлар cонларнинг исталган тартибда олинганидан ќосил этилган сонларни билдиради.
Шу тариšа šуйидаги тенгликларни ќам келтириб чиšариш мумкин:



Кўрсатилган 1-5 ва 1^-5^ тенгликлардан šуйидаги хулосани ќосил šиламиз: