I-боб. Умумий тушунчалар

6-§. Эквивалентлик муносабати


Рефлексив, симметрик ва транзитив муносабатлар. Эквивалентлик синфи.


1-таъриф. Агарда тўпламнинг исталган элементи учун бўлса, у ваšтда муносабатига тўпламидаги рефлексив муносабат деб айтилади; агарда дан келиб чиšса, у ќолда - симметрик муносабат деб айтилади; агарда ва дан келиб чиšса, у ваšтда - транзитив муносабат деб айтилади.
Шу кўрсатилган учала хоссага эга бўлган муносабатлар математикада кўп учрагани учун, уларга махсус ном šўйилган.
2-таъриф. Агарда бирор тўпламдаги муносабат рефлексив, симметрик ва транзитив хоссаларга эга бўлса, у ваšтда бундай муносабатга шу тўпламдаги эквивалентлик муносабати дейилади.
Агарда муносабати тўпламдаги эквивалентлик муносабати бўлса, у ваšтда .
Мисоллар. Šуйидаги ќар бир муносабат маълум тўпламдаги эквивалетлик муносабатига мисол бўла олади:
1.Исталган тўпламдаги тенглик муносабати.
2.Евклид текислигининг ќамма учбурчаклар тўпламидаги ўхшашлик муносабати.
3.Бутун сонлар тўпламидаги модули бўйича таššослама муносабати.
4.Ўзбекистонда яшовчи одамлар тўпламидаги “бир уйда яшовчилар” муносабати.
Эквивалентлик муносабати шундай асосий хусусиятга эгаки, у тўпламни кесишмайдиган šисм тўпламларга бўлади. Кейинги мисолга, масалан, “бир уйда яшовчилар” муносабати Ўзбекистонни бир-бири билан кесишмайдиган “бир уйда яшовчилар” šисм тўпламларига бўлади. Бу айтилганларни šуйидагича умумлаштириш мумкин.
тўпламдаги эквивалентлик муносабати бўлсин. У ваšтда тўпламининг šисм тўплами фаšат шундагина эквивалентлик синфи ёки эквивалентлик - синфи деб айтилади, šачонки тўпламининг шундай элементи топилиб, бўлса.
Шундай šилиб, тўпламнинг шундай элементи мавжуд бўлсаки, тенглик бажарилса, у ваšтда тўплам эквивалентлик синфи бўла олади.
Агарда муносабати тўђрисида ќеч šандай англашмовчилик туђилмайдиган бўлса, у ваšтда тўплами шаклида белгиланади, яъни ва юзага келтирган эквивалентлик синфи деб айтилади.
Эквивалентлик синфи šуйидаги икки хусусиятга эгадир:
1. - бир синфнинг ќамма элементлари ўзаро эквивалентдир.
2. Агар бўлса, у ваšтда .
1-хосса эквивалентлик муносабатининг рефлексивлик хусусиятидан келиб чиšади.