‘zbekiston respublikasi oliy va ‘rta maxsus ta’lim vazirligi u. Dalaboyev vektor va tenzor

C = f p ( n ( V '2- * X K  
(8.9)
Eski va yangi sistemalar (7.23) qonuniyat bo‘yicha bogMangan:
K = amxm. 
(8.10)
s,k = a,mab„ = a,mak,,s*m  boMgani  uchun  (8.10)  almashtirishning  Yakobiani 
J  = det(arai) = 1  boMgani uchun
Kk 
= a,*,aknlp(p){sr~r2 ~XmX„)dv,
 
(8.1 1)
V
(8.11) ni (8.4) bilan taqqoslash natijasida
C 
(8-12)
munosabatga kelamiz. (8.12) dan
/ > X  = 
=
 / » , » (
0
^ ; )
(7.23) ga ko‘ra bundan
/ » ;  = l^mjo^ 
(8.13)
(8.13)  dan  koordinatalar  sistemasini  burishda  energiyaning  o‘zgar- 
masligi,  ya'ni  invariantligini  ifodalaydi.  Shu  bilan  birga  (8.12)  ifoda 
jism  inersiyasini  aniqlovchi  /,*  miqdoriaming  koordinatalar  sistemasini 
burishda qanday 0‘zgarishini ko‘rsatadi.
99
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Iik  miqdorlar  jismning  aylanma  harakatida  uning  enersiyasini 
ko‘rsatuvchi  kattalikdir.  Iik  miqdorlaming  majmuasi  inersiya  tenzori 
deb ataluvchi miqdoming koodinatalaridan iboratdir.
8.2.  Tenzor tushunchasi
Oldingi  mavzuda  koordinatalar  sistemasini  burish  jarayonida 
vektorning  koordinatalarini  qanday  almashish  qoidalari  bilan  tanishdik. 
Matematika,  mexanika  va  fizikada  shunday  murakkab  obyektiar  borki 
ulaming  koordinatalari  bazis  almashish jarayonida  maxsus  qoida  bilan 
o‘zgaradi.  Masalan,  ikki  vektor  koordinatalarining  ko'paytmasidan 
hosil  boMgan  9  ta  A,B;  miqdordan  iborat  boMgan  obyektni  qaraylik.
Vektor koordinatalarini almashish qoidasi (7.24) dan bu 9 miqdor ushbu
qoida  bo'yicha  almashadi.  A,Bj = Tn 
belgilash  kiritish  natijasida 
T'j = amajmTnm  tenglikka  kelamiz.  Uch  oMchovli  fazoda  koordinata  siste- 
masini burish jarayonida 9 ta miqdorning bunday almashish qoidasiga 2- 
rang  tenzor  deyiladi.  Xuddi  shunengdek,  27  ta  miqdordan  iborat 
to'plam  TIJt = A,BjCk  ni qarash mumkin va ulaming almashish qoidasi
ko‘rinishda  boMadi.  TiJk  miqdorlar  uch  oMchovli  fazoda  uchinchi  rang 
tenzorlar  deyiladi.  Bu  yerda  tenzor ta’rifni  biz  tushunish  qulay  boMishi 
uchun  vektorlar  orqali  keltirdik.  Tenzorlaming  vektorga  bogManmagan 
umumiy ta’rifi quyidagicha boMadi:
T a’rif.  Agar  uch  oMchovli  fazoda  3R  miqdorlar  ortogonal  koordi- 
natalar sistemasini  burishda eski va yangi bazislarda
(8.14)
qoida bo‘yicha bogMangan  boMsa bunday  miqdorlarga R- rang tenzorlar 
deyiladi.
Ta’rifga  ko‘ra  nolinchi  rang  tenzor  skalyar boMib,  u  koordinatalar 
sistemasini  almashihsida  o'zgarmaydi.  Birinchi  rang  tenzor  vektordan 
iborat  boMib,  uning  koordinatalari  (7.23)  yo‘ki  (7.24)  qonuniyat  bilan 
o‘zgaradi:
4  ~ aijAj 
yo‘ki 
Ak =abA't 
(8.15) 
2  -   rang  tenzor  uch  oMchovli  fazoda  32  koordinatalari  mavjud 
boMadi.  Ulaming  to‘g‘ri  va  teskari  almashish  qonunlari  quyidagicha 
boMadi:
100
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

= ocmaMBM, 
BtJ = ar(> * X , 
(816)
3 
-   rang  tenzorning  almashish  qonunida  uchta  burish  matritsasi 
ishtirok etadi.
(8.16)  ifodalarni  matritsa  ko'rinishda  ifodalash  hisoblashlarda 
qulaylik tug'diradi.
%
 = 
= 
a(nBnma jm 
= a inBma T
mJ = 
{a -B -a r ) ^  
B '
= a  -B  a 1
 
(8 .1 7 )
Xuddi  shuningdek,  (8.17)  dan  teskari  almashish  qonunini  keltirib 
chiqarish mumkin
B = a r  B   a  
(8.18)
\-misol.  (7.6)  formula  yordamida  aniqlangan  Kroneker  belgisining 
tenzorligini ko‘rsataylik.
>   Kroneker  belgisini  Dekart  koordinatalardagi  ortlaming  skalyar 
ko‘paytmasi  shaklida  ifodalash  mumkin:  ^  = (em,et ),S'mt=(e'm,e't ). 
Ortlaming almashish qonunidan
Demak,  Kroneker belgisi  ikkinchi  rang tenzor ekan.  Hisoblashni  davom 
ettirsak
tenglikka  ega  boMamiz.  Kroneker  belgisi  ikkinchi  rang  tenzor 
boMishidan  tashqari  o‘z  ko‘rinishini  ham  o'zgartirmas  ekan.  Bunday 
tenzorlarga invariant tenzorlar deyiladi.  4
2-misol.  BoshlangMch  koordinatalar  sistemasida  2  -   rang  B 
tenzorning koordinatalari  berilgan boMsin:
0
1
0
- 1
0
- 2 V 2
0
 
2>/ 2
0
(8.19)
z o‘qi atrofida Dekart koordinatalar sistemasini  135° ga burish natijasida 
hosil boMgan sistemada tenzor koordinatalarini toping.
0(8.17) dan foydalansak
W
2 / 2
V 2 / 2
0 '
' 0
1
0
  N — V 2 / 2   - V 2 / 2
0 '
B = - V
2 / 2
- V 2 / 2
0
-1
0
- 2 V 2
V 2 / 2  
- V 2 / 2
0
0
0
1
y
, 0
2 V 2
0
  >
0
 
0
V
1
)
- V 2 / 2