Iik miqdorlar jismning aylanma harakatida uning enersiyasini
ko‘rsatuvchi kattalikdir.
Iik miqdorlaming majmuasi inersiya tenzori
deb ataluvchi miqdoming koodinatalaridan iboratdir.
8.2. Tenzor tushunchasi
Oldingi mavzuda koordinatalar sistemasini burish jarayonida
vektorning koordinatalarini qanday almashish qoidalari bilan tanishdik.
Matematika, mexanika va fizikada shunday murakkab obyektiar borki
ulaming koordinatalari bazis almashish jarayonida maxsus qoida bilan
o‘zgaradi. Masalan, ikki vektor koordinatalarining ko'paytmasidan
hosil boMgan 9 ta
A,B; miqdordan iborat boMgan obyektni qaraylik.
Vektor koordinatalarini almashish qoidasi (7.24) dan bu 9 miqdor ushbu
qoida bo'yicha almashadi.
A,Bj = Tn
belgilash kiritish natijasida
T'j =
amajmTnm tenglikka kelamiz. Uch oMchovli fazoda koordinata siste-
masini burish jarayonida 9 ta miqdorning bunday almashish qoidasiga 2-
rang tenzor deyiladi. Xuddi shunengdek, 27 ta miqdordan iborat
to'plam
TIJt =
A,BjCk ni qarash mumkin va ulaming almashish qoidasi
ko‘rinishda boMadi.
TiJk miqdorlar uch oMchovli fazoda
uchinchi rang
tenzorlar deyiladi. Bu yerda tenzor ta’rifni biz tushunish qulay boMishi
uchun vektorlar orqali keltirdik. Tenzorlaming vektorga bogManmagan
umumiy ta’rifi quyidagicha boMadi:
T a’rif. Agar uch oMchovli fazoda 3R miqdorlar ortogonal koordi-
natalar sistemasini burishda eski va yangi bazislarda
(8.14)
qoida bo‘yicha bogMangan boMsa bunday miqdorlarga
R- rang tenzorlar
deyiladi.
Ta’rifga ko‘ra nolinchi rang tenzor skalyar boMib, u koordinatalar
sistemasini almashihsida o'zgarmaydi. Birinchi rang tenzor vektordan
iborat boMib, uning koordinatalari (7.23) yo‘ki (7.24) qonuniyat bilan
o‘zgaradi:
4 ~ aijAj
yo‘ki
Ak =abA't
(8.15)
2 - rang tenzor uch oMchovli fazoda 32 koordinatalari mavjud
boMadi. Ulaming to‘g‘ri va teskari almashish qonunlari quyidagicha
boMadi:
100
www.ziyouz.com kutubxonasi
=
ocmaMBM,
BtJ = ar(> * X ,
(816)
3
- rang tenzorning almashish qonunida uchta burish matritsasi
ishtirok etadi.
(8.16) ifodalarni matritsa ko'rinishda ifodalash hisoblashlarda
qulaylik tug'diradi.
%
=
=
a(nBnma jm
= a inBma T
mJ =
{a -B -a r ) ^
B '
= a -B a 1
(8 .1 7 )
Xuddi shuningdek, (8.17) dan teskari almashish qonunini keltirib
chiqarish
mumkin
B = a r B a
(8.18)
\-misol. (7.6) formula yordamida aniqlangan Kroneker belgisining
tenzorligini ko‘rsataylik.
> Kroneker belgisini Dekart koordinatalardagi ortlaming skalyar
ko‘paytmasi shaklida ifodalash mumkin:
^ = (em,et ),S'mt=(e'm,e't ).
Ortlaming almashish
qonunidan
Demak, Kroneker belgisi ikkinchi rang tenzor ekan. Hisoblashni davom
ettirsak
tenglikka ega boMamiz. Kroneker belgisi ikkinchi rang tenzor
boMishidan tashqari o‘z ko‘rinishini ham o'zgartirmas ekan. Bunday
tenzorlarga invariant tenzorlar deyiladi.
4
2-misol. BoshlangMch koordinatalar sistemasida 2 - rang B
tenzorning koordinatalari berilgan boMsin:
0
1
0
- 1
0
- 2 V 2
0
2>/ 2
0
(8.19)
z o‘qi atrofida Dekart koordinatalar sistemasini 135° ga burish natijasida
hosil boMgan sistemada tenzor koordinatalarini toping.
0(8.17) dan
foydalansak
W
2 / 2
V 2 / 2
0 '
' 0
1
0
N — V 2 / 2 - V 2 / 2
0 '
B = - V
2 / 2
- V 2 / 2
0
-1
0
- 2 V 2
V 2 / 2
- V 2 / 2
0
0
0
1
y
, 0
2 V 2
0
>
0
0
V
1
)
- V 2 / 2
Do'stlaringiz bilan baham: