|
iy
2
2
2
2
2
*
2
2
2
’
tenglikni yozish mumkin. S# =(7'ff + Tj,)l2, A,=(T„-Tj,)/2 belgilashlar
kiritsak, berilgan tenzomi
T + T
T — T
1
2
2
ko'rinishda yozish mumkin boMadi. S,j va A j tenzorlaming simmetrik va
antisimmetrikligi quyidagilardan ko‘rinadi.
s - I
ji
I L
l
- I
i
I I
l
-
s
2
2
T - T
T - T
j - J l
____
!L —
___!L___
‘L - - J
A j
^
2
A "
1 -misol. Biror Dekart koordinatalar sistemasida quyidagi tenzor
berilgan boMsin.
r \
3
2 ^
3
- 1
1
+ -1 6j
Bu tenzoming simmetrik va antisimmetrik qismlarini va Sp(SllAft)
ni topaylik.
t> Simmetrik va antisimmetrik elementlami topish formulasidan
105
I
www.ziyouz.com kutubxonasi
f f
= CV + Cj, _ 1
«
2
~2
W
f f
^ = S
l
_ £ £ = I
^
' 2
2
3
-1
-1
3
-1
-1
2^
1
6
2\
1
6
(\
3
2
1
3
2
3
-1
1
3
-1
1
A \\
-1
6 f
4 W
-1
6
' l
3
13
0
0
1
3
-1
0
0
0
-1
3^
0
6
- i \
1
0
SyAp = D1Jt belgilash kiritaylik. Bu belgilashni matritsa ko‘rinishda
ifodalasak D = S-A boMadi. Unda D tenzor elementlari
4* =
'\ 3
2" '0
0
- r
'3 -3
4 '
3 -1
0
0
0
1
0
0
-4
,3 0
6, ,1 -1
0 ,
,6 -6
~3>
Sp(svAJk) = SjlAJk’*Dtk bo'lgani uchun, D tenzorning dioganal
elementlaryig‘indisi nolgateng. Shuning uchun
2-misol. Avvalgi misolda ikkilangan yig'ishtirish S^A^ ning nolga
tenligini ko‘rdik. Endi umumiy holni ko‘ramiz. Ixtiyoriy simmetrik va
antisimmetrik tenzorlarning ikkilangan yig‘ishtirishi doim nolga
tengligini ko‘rsatamiz.
>
V
a
= s * M * > SB- V V
Bu tengliklarda k ham j ham yig‘ishtirish indeksi bo'Igani uchun
k ni j ga, j ni esa k ga almashtirsak,
^ k j ^ } k
S j j A j j
S j j A j / ' j
tenglikka ega boMamiz. Bundan S^A^ =0 kelib chiqadi.-4
9.2. Tenzorning xos va xos vektorlari
2 - rang tenzomi vektorga ko‘paytirib yig‘ishtirish natijasida vektor
hosil boMadi: TvAj = B,. Agar A vektor B vektorga kollinear boMsa, ya’ni
T,A,-AA,
(9.1)
boMsa, k ga tenzoming xos soni, A vektorga tenzoming X xos songa
mos kelgan xos vektori deyiladi. (9.1) dan
TgAj-AA' => T
v
A
j
-A S
v
A
j
= 0, => (Tv ~ASv)Aj = 0.
Oxirgi tenglama A vektor elementlariga nisbatan bir jinsli chiziqli
tenglamalar sistemasidir. Bu sistema noldan farqli yechimga ega boMishi
uchun, determinant nolga teng boMishi kerak:
dct(Tv -A Sv) = 0.
(9.2)
106
www.ziyouz.com kutubxonasi
Bu tenglamaga tenzoming xarakteristik tenglamasi deyiladi. Uch
o'lchovli fazoda xarakteristik tenglama uchinchi tartibli bo'ladi va uning
uch ildizi
bo‘lib har bir xos songa mos Am,A(2),A(2) xos
vektorlar topiladi.
Teorema. Simmetrik tenzoming xos sonlari haqiqiy bo‘lib, ularga
mos xos vektorlari ortogonal bo'ladi.
Isboti. Tv simmetrik bo‘lib, Am,Ai2\A.i3) lar uning xos sonlari
Am,Ai2),A(i)
lar ularga mos kelgan xos vektorlari bo'lsin. Xos sonlami
kompleks deb faraz qilaylik. U holda xos vektorlar ham komleks bo'ladi.
U holda (9.1) bilan birga unga kompleks qo'shma tenglamani ham qaraymiz:
T'jAj^AA,
' TA = * ' AY
Birinchi tenglamani A’ ga, ikkinchisini A, ga ko'paytirib so‘ng
birinchisidan ikkinchisini ayirsak
o = ( A - r ) |4 |J
kelib chiqadi (chap tomonning nolga tenligi T^A'
a
, ^T^A^A, = T
v
A,'A
j
tenglikka ko‘ra hosil boMadi ). Bundan A = A' boMishi kelib chiqadi va
xos sonlaming haqiqiy ekanligi ko‘rinadi.
Am
va A,2) ga mos kelgan Am,Al2) vektorlami ko‘raylik. /t(l) * /t'J)
bo'lsin. Bu miqdorlar quyidagi tenglamalami qanoatlantiradi:
^7^/4(1)=/l(1>/<,,
TtJAi2)=A<2)A,(2)
Sistemaning birinchisini/4'J) ga, ikkinchisini Am ga ko‘paytirib
so‘ng ayirsak
0 = (/t(,) — /t)(/4(1>,/5bundan Am * A i2> ga asosan (/i(1),/4(2)) = 0, kelib chiqadi, ya’ni xos
vektorlar ortogonal boMadi.
Agar ikki yoki uchchala xos sonlar o‘zaro teng boMsa, ularga mos
vektorlami bir-biriga ortogonal sifatida tanlab olish mumkin.
Ortogonal xos vektorlar asosida qurilgan sistemada tenzor sodda
ko'rinishda, uning matritsasi dioganal matritsadan iborat boMib,
dioganal elementlari xos sonlardan iborat boMadi. Yana shu narsani
nazarda tutish kerakki, xos vektorlar o‘ng sistemani tashkil qilishi kerak.
Bu holda tenzoming xos sistemasiga o‘tish jarayonini eski sistemani
burish yordamida hosil qilish mumkin boMadi.
107
www.ziyouz.com kutubxonasi
Misol. Quyidagi tenzoming xos son va xos vektorlarini toping.
f \
1 0\
Mtl = 1 10 3
,0 3
l j
\> A = {a,b,c} My tenzoming k xos soniga mos kelgan xos vektori
boMsin. Qulaylik uchun xos vektomi aniqlovchi (10.1) tenlamani
matritsa ko'rinishda yozamiz.
(9.3)
Xos sonlar xarakteristik tenglamadan topiladi:
\ - k
1
0
1
10-A
3 =0, => ( l-/l)2(10 -/l)-10(l-/l) = 0.
0
3
1 -A
Xarakteristik tenglamaning yechimlari 4 = 0, 4 = l va 4, = 11
ekanligini ko'rish qiyin emas. Topilgan xarakteristik sonlarni ketma-ket
(10.3) ga qo‘yib tenzoming xos vektorlarini topamiz. 4 =0 uchun
'\
1 0'
'a'
' \ - k
1
0 ' 'a'
'0'
l 10 3
b = A b =>
1
10-.*
3
b = 0
,0 3
1, , CJ
, c,
, 0
3
\- A ,
,0/
'\
2
0' V
'0'
1 10 3
b
=
0 => •
,0 3
1/
,0/
a + b = 0,
Do'stlaringiz bilan baham: |
