‘zbekiston respublikasi oliy va ‘rta maxsus ta’lim vazirligi u. Dalaboyev vektor va tenzor

UO‘K:  514.742/743 
KBK30.3
Taqrizchilar:
A.RasuIov -  f-m.f.d., professor; 
A.Abdumalikov -  f-m.f.d., professor.
ISBN 978-9943-990-94-4
© «Fan va texnologiya» nashriyoti, 2015.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Matematika g'oyat b iryuksak 
fa n ki, unda bir olarn mo ‘jiza  yotadi.
Mirzo  Ylug‘bek.
KIRISH
Matematikani  o‘rganishning  bevosita  amaliy  tatbiqlaridan  tashqari 
yosh mutaxasislami  har taraflama rivojlangan  komil  inson qilib tarbiya- 
lashda  uning  alohida  o'ringa  ega  ekanligi  ta'kidlamasdan  bo‘lmaydi. 
Tahliliy  mulohaza,  mantiqiy  mushohada,  fazoviy  tasavvur,  abstrakt 
tafakkur  inson  faoliyatining barcha  sohasi  uchun  zarur qobilyatki,  bular 
matematikani o'rganish jarayonida shakllanib boradi.
Matematikada  o‘zgaruvchan  miqdorlar  tushunchasining  kiritilishi 
qanday  muvaffaqiyat  qozongan  bo‘lsa,  fizikada  maydon  tushuncha- 
sining kiritilishi ham shunday ahamiyat kasb etgan.
Mamlakatimizning  oily  ta’lim  muassalarida  barcha  yo‘nalishlar 
bo'yicha  bakalavrlar > tayyorlash  tizimiga  o‘tilgach,  fanlaming  o‘quv 
rejalari  va  dasturlarini  davlat  standartiga  moslash,  shu  bilan  birga, 
halqaro ta’lim berish standartlarini qoMlash, ajdodlarimizning boy milliy 
meroslarini  shu jarayonga jalb  qilish  zamrati  tugMldi.  Har bir yo‘nalish 
bir  necha  mutaxassisliklami  o‘z  ichiga  olganligi  sababli  mamlakati- 
mizdagi  barcha  oliy  o‘quv  yurtlarida  bakalavrlar  tayyorlash  bo‘yicha 
fanlardan umumiy o‘quv dasturi tayyorlangan.
So‘nggi  yillarda  oliy  taMimda  amalga  oshirilayotgan  sifat  o‘zgar- 
tirishlar,  jumladan  «5140200  -   fizika»  va  «5140400  -   astronomiya» 
ta’lim yo‘nalishining tashkil qilinishi  va muallifni ko‘p yillar mobaynida 
0 ‘zMU  da  vektor  va  tenzor  tahlil  kursidan  olib  borgan  ma’ruza  va 
amaliy  mashg‘ulotlarida orttirgan tajribasi  ushbu darslikning yozilishiga 
sabab  boMdi.  Bu  darslik  universitetlaming  «Fizika  va  astronomiya» 
(bakalavriyat)  taMirn  yo‘nalishi  o‘quv  rejasidagi  «Vektor  va  tenzor 
tahlili»  kursi  o‘quv  dasturi  asosida  yozilgan.  Darslikning  koMami 
talabalaming  keyingi  bosqichda  elektrodinamika,  nazariy  fizika  va 
kristallografiya kabi fanlami o'rganishga zamin tayyorlaydi.
3
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Bu  darslikdagi  maMumotlami  tushunish  uchun  talabalar  matematik 
tahlil,  vektorlar  algebrasi  va  analitik  geometriya  kurslaridan  kerakli 
bilimlarga ega boMishi  kerak.
Ushbu  darslik  matematika  va  fizikaning  muhim  qismlaridan  biri 
boMgan  vektorlar va  tenzor  maydonlar tushunchasini  o‘rganishga,  tahlil 
qilishga bagMshlangan.  Bu darslikdan fizika,  matematika va texnika oliy 
taMim  muassalari  talabalari,  aspirantlar  va  keng  muhandislar  guruhi 
foydalanishi  mumkin.  Undagi  skalyar,  vektor  maydonlar  va  tenzorlar 
tushunchasi,  ulardagi  muhim  matematik  amallar  sodda  tilda  bayon 
etilishiga harakat qilingan.
Dekart  tomonidan  koordinatalar  sistemasini  kiritilishi  matematika 
va  uning  tatbiqlarida  revolyusiya  yasadi.  Keyingi  qadam  vektor 
hisobning  kiritilishi  boMdi.  Ba'zi  fizik  masalalami  yechish  uchun  esa 
murakkab  miqdorlar  -   tenzorlar  kerak  boMadi.  Tenzor  kattaliklar 
nisbiylik  nazariyasi  va  differensial  geometriyada  keng  qoMlaniladi. 
Tenzor  miqdorlar  fizik  jarayon  xususiyatlarini  invariantlari  yordamida 
aniqlashga  yordam  beradi.  Invariantlar  deb  shunday  bogManishlarga 
aytiladiki,  ular  bir sistemadan  boshqasiga  o‘tganda  o‘zgarmaydi.  Fizika 
va  mexanikaning  qonunlari  koordinatalar  sistemasini  tanlashiga  bogMiq 
emas.  Shuning  uchun  biror  fizik  jarayonning  asosiy  xususiyatini 
aniqlash  uchun  uning  koorinatalar  sistemasiga  bogMiq  emasligini 
ko‘rsatish  kerak  boMadi.  Fizik jarayonni  ifodalovchi  tenglamalarda  bir 
sistemadan  ikkinchisiga  o‘tish  zaruriyati  tugMladi.  Shuning  uchun  ham 
tenzor  hisobning  asosiy  usulida  koordinatalar  sistemasini  almashtirish 
yotadi.  Fizik  kattaliklar  birliklarga  ega.  Fizik  jarayonni  ifodalovchi 
tenglamaning  hadlari  bir  xil  oMchamli  boMishi  kerak.  Bu  holat  esa 
tenglama hadlarining bir xil rangli tenzor ekanligini taqozo qiladi.
Maydonlar  nazariyasidagi  har  bir  matematik  amallar  nazariy  va 
amaliy jihatdan  tushunarli  holda  keltirilgan.  Shuning  uchun  talabalar va 
fizik  jarayonlar  bilan  mashg‘ul  boMgan  mutaxassislar  uchun  ushbu 
darslik amaliy  ishlariga yordam beradi.
Darslik  ikki  bob  va  ikki  ilovadan  tashkil  topgan.  Darslikning 
birunchi  qismida  skalyar  va  vektor  maydonlarga  oid  tushunchalar, 
maydonning  amallariga  tegishli  maMumotlar,  maydon  amallarining  egri 
chiziqli  koordinatalardagi  ifodalari keltirilgan.
Tenzorga  oid  boMimda  unga  tegishli  amallar  to‘g‘ri  dekart  koor- 
dinatalar  sistemasida  bayon  qilingan.  Har  bir  mavzular  misoliar  bilan 
bayon qilingan va mustaqil  ishlash uchun mashqlar berilgan.
4
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Darslikda  ikkita  ilova  keltirilgan.  Birinchi  ilovada  kursni  o'qitishda 
zarur boMga asosiy formulalar bayon qilingan.
Hamma  sohalarda  matematik  qonuniyatga  asoslangan  zamonaviy 
kompyuterlaming  muvaffaqiyat  bilan  tatbiq  etilishi  hamda  uning 
kundan-kunga  rivojlanib  borayotgani,  yosh  mutaxasislarning  tegishli 
sohalar  masalalarining  matematik  modellarini  tuza  bilishi  va  unda 
hisoblash texnikasini joriy  etish vazifasini  qo‘ymoqda.  Ayniqsa,  analitik 
hisoblashlami  amalga oshiradigan bir qancha zamonaviy  paketlar  ishlab 
chiqildi  (Mathematica,  MathCad,  Maple  va  h.k).  Biz  mustaqil  ishlarni 
bajarishda informatsion texnologiyalardan unumli  foydalanish va zamon 
talabiga  mos  keladigan  niutaxassislarni  tayyorlashni  nazarda  tutib
2-  ilovada  maydon  amallarini  Maple  tizimida  bajarishga  oid  namunalar 
bilan toMdirdik.
Har  bir bob  tegishli  paragraflarga  boMingan boMib,  har bir paragraf 
mavzuga  taalluqli  asosiy  ta'riflar,  tasdiqlar,  teoremalami  o‘z  ichiga 
oladi,  shuningdek,  ularning  har  biri  an'anaviy  misollami  batafsil  tahlil 
yordamida yechish orqali  namoyish qilingan.
0 ‘ylaymizki,  darslik  o‘z  o‘quvchilarini  topadi  va  boshqa  mavjud 
o‘quv  adabiyotlari  qatorida  vektor va tenzor tahlil  kursi  bo‘yicha  ularga 
bilimlarini  oshirishga ko'mak beradi.  Darslik haqidagi  fikr mulohazalar, 
undagi  mavjud  kamchiliklar  bo‘yicha  takliflami  muallif  mamnuniyat 
bilan qabul qiladilar.
Muallif.
5
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Agar insoniyat tomonidan yaratilgan 
ilmiy yangiliklarning  matematik 
isboti b o ‘lmasa uni haqiqiy 
fa n  qatoriga qo ‘shib bo ‘Imaydi.
Leonardo da  Vinchi