‘zbekiston respublikasi oliy va ‘rta maxsus ta’lim vazirligi u. Dalaboyev vektor va tenzor

(fi'C
 
)|( = SnSn 
+ 
SI2SI2
 + Sl%
Si~
 = SimStm = 
sa 
ekanligi  kelib  chiqadi.  Qolgan  elementlar  uchun  shu  kabi  tengliklar 
o‘rinli  boMadi.  detCr = detC  va  det(fi-C') = detS  detCr  tengliklardan 
(10.5) ning o‘rinliligi kelib chiqadi.  ◄
Misol.  e ^ e ^  = SimSJtl - SlnSim tenglikning o‘rinliligi isbot qilinsin.
D>  Oldingi  misol  natijasidan foydalanamiz.  / indeksni k indeks bilan 
almashtiramiz:
S *
S ,m
—
S , L
S  m
s m
jk
jm
J»
S km
S *
Determinantni yoyib 
S,±
 =3  ekanligini  inobatga olsak,
£ i/L £ kitm
 = 
S
J S
^   —  S ^ S ^ S p
 + 
S ^ S p S u   —
smSj/A
, +W L  -  
stA S Jm=smsjn - su,sjm.
  ◄
Misol.  e^e^  ikkilangan yig‘indini hisoblang. 
t >  
sIJkEkmi=SmSJn- S mSjm
  tenlikdan foydalanamiz.  Bu tenglikda indeks 
m-¥ j   ni almashtirsak,
s
  i 
=  S S   ~~ S   S
 
~  
S
 
—   3
S
 
—   * 2 < J
b ijk*lf*
  “  
“  
u m 
J u m
boMadi.  Uchlangan  yigMndi  uchun  esa  sllkeIJk = efJk = 6  ekanligini  ko‘rish 
qiyin emas.  ◄
Levi-Chivita tenzori invariant tenzor hisoblanadi:
£ ,jk  ~  a i*a jn a U£ m*l  ~  £ ijk'
Haqiqatan ham,
£ijk ~ ai*ajmaU£«mt ~ «■> an an ¥ai3a „ak2+ «,2a ,iakl ~ a,2a„ak}~
an
a,2 a,i
i
__
i
n
? ])•
~a,xa,iaki~a
ii

aji
ak1 ak2 ak}
Bu  tenglikdan,  agar
lar  o ‘ng bazisni tashkil
=(e|,[?2,e3]) = l  boMishi  kelib  chiqadi.  Aralash  ko‘paytmaning 
quyidagi xossalarini:
•Aralash  ko‘paytmada  ikki  vektor  o‘rni  almashganda  ishorasi 
o‘zgaradi;
113
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

•Aralash  ko‘paytmaning  ixtiyoriy  ukki  vektori  mos  kelsa  u  nolga 
teng bo‘ladi;
inobatga olinsa  ( ^ .[ e } ,^ ] ) * ^   kelib chiqadi.
Shunday qilib, Levi-Chivita simvoli invariant tenzor ekan.