Reja Matritsalar algebrasining elementlari

Vektorlarning skalyar ko’paytmalari.

Tarif. va vektorlarning uzunliklari bilan ular orasidagi burchak kosinusini ko’paytirishdan hosil bo’lgan son bu vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb aytiladi va yoki ko’rinishida yoziladi.

Ta’rifga ko’ra

Misol. bo’lib, bo’lsa, ni toping.

.

Skalyar ko’paytma xossalari

1⁰. Ixtiyoriy ikkita vektor uchun: _.

2⁰. Ixtiyoriy uchta , va vektorlar uchun

3⁰. Ixtiyoriy ikkita , vektorlar va ixtiyoriy haqiqiy son uchun: ;

4⁰. Ixtiyoriy vektor uchun =| |²

coni vektorning skalyar kvadrati deyiladi. bilan belgilanadi. soni vektorning uzunligi deyiladi va | | bilan belgilanadi.

5⁰. Agar =0 bo’lsa, ²=0.

Uch o’lchovli vektor fazoda ortonormal bazis berilgan bo’lib bu bazisga nisbatan va vektorlar koordinatasi bilan berilgab bo’lsin,



va vektorlarning skalyar ko’paytmasini hisoblashda (2.9) va (2.10) munosabatlarni e’tiborga olsak, quyidagilarga ega bo’lamiz.

Demak, koordinatalari bilan berilgan ikkita vektorning skalyar ko’paytmasi bu vektorlarning mos koordinatalari ko’paytmasining yig’indisiga teng. Ya’ni:

(2.12)

Natijalar. 1. vektor uzunligi

2. Ikki , vektorlar orasidagi burchak (3.1) ga ko’ra

Agar va vektor koordinatalar bilan berilgan bo’lsa, bu vektorlar orasidagi burchak ushbu formula bilan aniqlanadi.

va vektorlarning skalyar ko’paytmasini toping, bunda:
1. A(2,- 2), B(-1,2), C(4,5)

2. A(0,6), B(-12,-3), C(-9,- 6)

3. A(2, 3), B(4,5), C(3,1)

4. A(-1,1), B(3,- 5), C(1,1)

5. A(- 2,0), B(1,4), C(5,1)

6. A(3,3), B(3,2), C(4,4)

7. A(-1,- 4), B(-1,-1), C(4,3)

8. A(2,- 2), B(0,0), C(6,-6)

9. A(1,0), B(3,4), C(4,3)

10. A(3,2), B(1,4), C(4,0)

11. A(1,- 2), B(- 4,-6), C(2,-1)

12. A(- 4,2), B(-1,2), C(-3,-8)

13. A(5,2), B(5,1), C(5,-1)

14. A(- 3,- 4), B(5,- 2), C(2,1)

15. A(2,-6), B(1,- 4), C(4,-10)

16. A(5,1), B(3,2), C(4,2)

17. A(2,-1), B(5,7), C(4,-1)

18. A(3,-1), B(5,- 4), C(4,-1)

19. A(-1,2), B(3,4), C(4,- 2)

20. A(2, 3), B(4,5), C(3,1)

Vektorlarning vektor ko’paytmalari

1-misol: vektorlargayasalgan parallelogrammning uuzini va uning diagonallari uzunliklarini toping.¹

Qo’yidagi vektorlarga qurilgan parallelogram yuzasini xisoblang.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Misol. vektorlarning aralash ko’paytmasini hisoblang.

Yechish.

=0 bo’lgani sababli vektolar komplanar bo’ladi.

Qo’yidagi vektorlarning aralash ko’paytmasini hisoblang.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. _{ }2_{ } vektorlarda parallelepiped yasalsin hamda uning hajmi hisoblansin.

Javob: _{ }.

11. Uchlari_{ }va_{ } nuqtalarda bo’lgan piramida yasalsin hamda uning hajmi, _{ } uog’ining uuzi va shu uoqqa tushirilgan balandligi hisoblansin.

Javob: _{ };

13.  =-3_{ }vektorlarning o’zaro komplanar ekanligi ko’rsatilsin.

14._{ }

2) (_{ }2_{ } ekanligi isbotlansin.

15. Uchlari_{ }va_{ } nuqtalarda bo’lgan piramida yasalsin hamda uning hajmi va _{ } uog’iga tushirilgan balandligi hisoblansin.

Javob: _{ };

16. va_{ } vektorlar yasalsin va ular o’zaro komplanar ekanligi ko’rsatilsin.

17. Uzunliklari 2 ga teng bo’lgan va koordinatalar burchaklarining bissektrisalaribo’yichayo’nalgan_{ } va _{ } vektorlarda yasalgan tetraedrning hajmi topilsin.

Javob: _{ }.

18. А,В,С nuqtalarning koordinatalari berilgan. _{   }, _{ }vektorlarning koordinatalarini toping:

1. 
   _{   } vektorlarning vektor ko’paytmasini toping.
   
2. 
   _{ }, _{ } vektorlarning vektor ko’paytmasini toping
   
3. 
   _{   } vektorlarning vektor ko’paytmasini toping
   
4. 
   ABC uchburchakning yuzasini toping.
   

1. 
   А(1; -1), В(4; 3), С(5; 1).
   
2. 
   А(0; -1), В(3; 3), С(4; 1).
   
3. 
   А(1; -2), В(4; 2), С(5; 0).
   
4. 
   А(2; -2), В(5; 2), С(6; 0).
   
5. 
   А(0; 0), В(3; 4), С(4; 2).
   
6. 
   А(0; 1), В(3; 5), С(4; 3).
   
7. 
   А(3; -2), В(6; 2), С(7; 0).
   
8. 
   А(3; -3), В(6; 1), С(7; -1).
   
9. 
   А(-1; 1), В(2; 5), С(3; 3).
   
10. 
    А(4; 0), В(7; 4), С(8; 2).
    
11. 
    А(2; 2), В(5; 6), С(6; 4).
    
12. 
    А(4; -2), В(7; 2), С(8; 0).А(0; 2), В(3; 6), С(4; 4).
    
13. 
    А(4; 1), В(7; 5), С(8; 3).
    
14. 
    А(3; 2), В(6; 6), С(7; 4).
    
15. 
    А(-2; 1), В(1; 5), С(2; 3).
    
16. 
    А(4; -3), В(7; 1), С(8; -1).
    
17. 
    А(-2; 2), В(1; 6), С(2; 4).
    
18. 
    А(5; 0), В(8; 4), С(9; 2).
    
19. 
    А(2; 3), В(5; 7), С(6; 5).