|
Teorema 2.4. Har qanday to'rt vektor chiziqli bog'liq.
◄ Isbot 2.3 -teoremada bo'lgani kabi amalga oshiriladi. O'zboshimchalik bilan to'rtta a, b, c va d vektorlarni ko'rib chiqing. Agar to'rtta vektordan bittasi nolga teng bo'lsa yoki ular orasida ikkita kollinear vektor bo'lsa yoki to'rt vektordan uchtasi bir tekis bo'lsa, bu to'rt vektor chiziqli bog'liqdir. Masalan, agar a va b vektorlari o'zaro chiziqli bo'lsa, biz ularning aa + bb = 0 chiziqli kombinatsiyasini nol bo'lmagan koeffitsientlar bilan tuzishimiz va qolgan ikkita vektorni bu kombinatsiyaga qo'shib, nollarni koeffitsient sifatida olishimiz mumkin. Biz 0 ga teng to'rtta vektorning chiziqli kombinatsiyasini olamiz, unda nol bo'lmagan koeffitsientlar mavjud.
Shunday qilib, tanlangan to'rtta vektor orasida nol yo'q, ikkitasi kollinear va uchtasi teng bo'lmagan deb taxmin qilishimiz mumkin. Keling, umumiy nuqtasi sifatida O nuqtasini tanlaylik, keyin a, b, c, d vektorlarning uchlari A, B, C, D nuqtalar bo'ladi (2.2 -rasm). D nuqtasi orqali biz OBC, OCA, OAB tekisliklariga parallel uchta tekislik chizamiz va A ", B", C "mos ravishda OA, OB, OC to'g'ri chiziqlar bilan kesishgan nuqtalar bo'lsin. Parallelepiped olamiz. OA "C" B "C" B "DA" va a, b, c vektorlari uning chekkasida O tepasidan chiqadi. OC "DC" to'rtburchagi parallelogramm bo'lgani uchun, OD = OC "+ OC". In. burilish, segment OC "diagonali OA" C "B" parallelogrammidir, shuning uchun OC "= OA"+ OB "va OD = OA"+ OB "+ OC".
Shuni ta'kidlash kerakki, OA ≠ 0 va OA ", OB ≠ 0 va OB", OC ≠ 0 va OC "vektor juftlari o'zaro chiziqli, shuning uchun biz a, b, co koeffitsientlarini OA" = bo'lishi uchun tanlashimiz mumkin. aOA, OB "= bOB va OC" = γOC. Nihoyat, biz OD = aOA + bOB + γOC ni olamiz. Demak, OD vektori boshqa uchta vektor bilan ifodalanadi va 2.1 teoremaga ko'ra, barcha to'rt vektor chiziqli bog'liqdir.
Bo'lsin L - maydon ustidagi chiziqli bo'shliq R ... Bo'lsin A1, a2, ..., va (*) dan cheklangan vektorlar tizimi L ... Vektor V = a1 × A1 + a2 × A2 + ... + bir × An (16) deyiladi Vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi ( *), yoki vektor deb ayting V vektorlar tizimi orqali chiziqli ifodalanishi mumkin (*).
Ta'rif 14. Vektorlar tizimi (*) deyiladi Chiziqli bog'liq a1, a2, ..., no1 bo'lmagan koeffitsientlar to'plami mavjud bo'lsa va a1 × A1 + a2 × A2 + ... + bir × An = 0. Agar a1 × bo'lsa A1 + a2 × A2 + ... + bir × An = 0 Û a1 = a2 =… = an = 0, keyin tizim (*) deyiladi Chiziqli mustaqil.
Chiziqli qaramlik va mustaqillik xususiyatlari.
10. Agar vektorlar tizimida nol vektor bo'lsa, u chiziqli bog'liqdir.
Haqiqatan ham, agar tizimda (*) vektor bo'lsa A1 = 0, Keyin 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .
20. Agar vektorlar sistemasida ikkita mutanosib vektor bo'lsa, u chiziqli bog'liqdir.
Bo'lsin A1 = L× a2. Keyin 1 × A1 - L × A2 + 0× A3 + … + 0× A N = 0.
30. n ³ 2 uchun cheklangan vektorlar tizimi (*) chiziqli bog'liq, agar va uning vektorlaridan kamida bittasi bu tizimning qolgan vektorlarining chiziqli birikmasi bo'lsa.
Þ (*) chiziqli bog'liq bo'lsin. Keyin a1, a2, ..., va a1 × kabi nol bo'lmagan koeffitsientlar to'plami mavjud A1 + a2 × A2 + ... + bir × An = 0 . Umumiylikni yo'qotmasdan, a1 ¹ 0 deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin bor va A1 = × a2 × A2 + ... + × an × A N. Shunday qilib, vektor A1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasi.
X (*) vektorlardan biri boshqalarning chiziqli kombinatsiyasi bo'lsin. Bu birinchi vektor deb taxmin qilishimiz mumkin, ya'ni. A1 = B2 A2 + ... + mlrd A N, shuning uchun (–1) × A1 + b2 A2 + ... + mlrd A N = 0 ya'ni (*) chiziqli bog'liq.
Sharh. Oxirgi xususiyatdan foydalanib, cheksiz vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligiga ta'rif berish mumkin.
Ta'rif 15. Vektorli tizim A1, a2, ..., va , ... (**) deyiladi Chiziqli bog'liq Agar uning vektorlaridan kamida bittasi cheklangan sonli boshqa vektorlarning chiziqli birikmasi bo'lsa. Aks holda, tizim (**) deyiladi Chiziqli mustaqil.
40. Cheklangan vektorlar tizimi chiziqli mustaqil, agar uning vektorlarining hech biri qolgan vektorlari bo'yicha chiziqli ifodalanmasa.
50. Agar vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari ham chiziqli mustaqil bo'ladi.
60. Agar berilgan vektorlar tizimining ba'zi bir quyi tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda butun tizim ham chiziqli bog'liqdir.
Ikki vektorlar tizimi berilsin A1, a2, ..., va , ... (16) va V1, v2, ..., vs, ... (17). Agar tizimning (16) har bir vektori (17) sonli sonli vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lsa, unda ular (17) sistema (16) orqali chiziqli ifodalanadi deyishadi.
Ta'rif 16. Vektorlarning ikkita tizimi deyiladi Ekvivalent agar ularning har biri boshqasi bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa.
Teorema 9 (chiziqli qaramlik haqidagi asosiy teorema).
Sizga ruxsat bering - dan ikkita cheklangan vektorlar tizimi L ... Agar birinchi tizim chiziqli mustaqil bo'lsa va ikkinchisida chiziqli ifodalangan bo'lsa, demak N.£ s.
Isbot. Keling, shunday qilaylik N.> S. Teorema gipotezasi bo'yicha
qo'shma. Tenglamalar soni noma'lumlardan ko'p bo'lgani uchun, tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud. Shuning uchun, u nolga ega emas X10, x20, ..., xN0... Bu qadriyatlar uchun tenglik (18) rost bo'ladi, bu vektorlar tizimining chiziqli mustaqil ekanligiga zid. Demak, bizning taxminimiz to'g'ri emas. Demak, N.£ s.
Natijada. Agar ikkita ekvivalent vektorlar tizimi cheksiz va chiziqli mustaqil bo'lsa, unda ular bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.
Ta'rif 17. Vektorli tizim deyiladi Maksimal chiziqli mustaqil vektorlar tizimi Chiziqli bo'shliq L agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga har qanday vektorni qo'shganda L bu tizimga kiritilmagan bo'lsa, u chiziqli bog'liq bo'ladi.
Teorema 10. Dan har qanday ikkita cheklangan maksimal chiziqli mustaqil vektorlar tizimi L Xuddi shu miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.
Isbot haqiqatdan kelib chiqadiki, har ikki maksimal chiziqli mustaqil vektorlar tizimi ekvivalentdir .
Kosmosdagi har qanday chiziqli mustaqil vektorlar tizimi ekanligini isbotlash oson L Bu bo'shliq vektorlarining maksimal chiziqli mustaqil tizimiga to'ldirilishi mumkin.
Misollar:
1. Hamma chiziqli geometrik vektorlar to'plamida bitta nol bo'lmagan vektordan tashkil topgan har qanday tizim maksimal chiziqli mustaqil.
2. Hamma bir tekis geometrik vektorlar majmuasida har qanday ikkita nokollinear bo'lmagan vektorlar maksimal chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi. Vektorlarning chiziqli bog'liqligi, vektorlarning chiziqli mustaqilligi, vektor asosi va boshqa atamalar nafaqat geometrik talqinga, balki, birinchi navbatda, algebraik ma'noga ega. "Vektor" tushunchasining o'zi nuqtai nazaridan chiziqli algebra- bu har doim ham biz samolyotda yoki kosmosda tasvirlashimiz mumkin bo'lgan "oddiy" vektor emas. Isbot uchun uzoqqa borish shart emas, 5 o'lchovli fazo vektorini chizishga harakat qiling ... Yoki Gismeteo-ga borgan ob-havo vektori: - mos ravishda harorat va atmosfera bosimi. Misol, albatta, vektor fazosining xususiyatlari nuqtai nazaridan noto'g'ri, ammo shunga qaramay, hech kim bu parametrlarni vektor bilan rasmiylashtirishni taqiqlamaydi. Kuz nafasi....
Yo'q, men sizga nazariya, chiziqli vektor bo'shliqlari bilan yuklamoqchi emasman, vazifa shu tushunish ta'riflar va teoremalar. Yangi atamalar (chiziqli bog'liqlik, mustaqillik, chiziqli birikma, bazis va boshqalar) algebraik nuqtai nazardan barcha vektorlarga tegishli, ammo geometrik misollar keltiriladi. Shunday qilib, hamma narsa sodda, tushunarli va tushunarli. Analitik geometriya muammolaridan tashqari ba'zilarini ham ko'rib chiqamiz tipik vazifalar algebra. Materialni o'zlashtirish uchun darslar bilan tanishish tavsiya etiladi Dummies uchun vektorlar va Determinantni qanday hisoblash mumkin?
Do'stlaringiz bilan baham: |
