Аналитическая геометрия на плоскости

Прямая линия на плоскости

1. 
   Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному нормальному вектору.
   

Определение. Нормальный вектор к прямой - любой ненулевой вектор, направленный перпендикулярно этой прямой.
Пусть задана точка , лежащая на прямой, и координаты нормального вектора .

Пусть точка М(х,у) лежит на указанной прямой. Составим вектор и будут ортогональны тогда и только тогда, когда точка М лежит на данной прямой. Условие присуще лишь точкам, лежащим на прямой, и только этим точкам.
Имеем , откуда
.
Полученное уравнение есть уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору .
Пример. Даны две точки M₁ (2;-1) и М₂ (5;3). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору .
Решение: Нормальный вектор имеет координат или . Подставляя полученные координаты в уравнение прямой, получаем искомое уравнение прямой:
.

2. 
   Общее уравнение прямой на плоскости
   

Преобразуем полученное выше уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀,у₀) перпендкулярно вектору . Раскрывая скобки, имеем . Обозначая число , стоящее во второй скобке, как , получим
.
Данное уравнение называется общим уравнением прямой.
Коэффициенты А и В в общем уравнении прямой имеют простой геометрический смысл: они являются ппроекциями нормального вектора на оси координат. Свободный член С геометрического смысла не имеет. Имеет место
Теорема. В декартовой прямоугольной системе координат любыя прямая определяется уравнением первой степени , и наоборот, любое уравнение первой степпени определяет прямую на плоскости.
Доказательство. Уравнение каждой прямой по описанной в предыдущем пункте процедуре, может всегда быть записано в виде . Докажем обратное утверждение.
В самом деле, пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система XOY им задано уравнение первой степени

в котором А, В и С - какие угодно постоянные, причем .
Это уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение х₀, у₀. Действительно, А и В одновременно не равны нулю. Пусть например, . Тогда, взяв произвольное х₀, из уравнения получим
.
Таким образом, существует хотя бы одна точка М₀(х₀,у₀), координаты которой удовлетворяют уравнению первой степени, т.е. выполняется числовое равенство

Вычитая из исходного уравнения полученное числовое равенство, приходим к уравнению
,
которое определяет прямую, проходящую через данную точку перпендикулярно вектору .

3.