Академия наук республики узбекистан

Вычислительные методы
В данном параграфе мы рассмотрим актуальные вычислительные процедуры, которые широко используется в современной физике твердого тела. Как отмечено выше в теории DFT волновые уравнения решаются непрямым образом. Существуют приближения различных уровней и разные технические детали. Подобно другим вычислительным дисциплинам, эти методы решают уравнения с помощью скоростных компьютерных кодов и требуют объемных вычислительных сил.
Мы коротко рассмотрим технику решения одночастичного уравнения кристаллов и объясним разницу между другими методами и методом, который используется в данной работе.
В параграфе 1.4. мы получили одночастичные уравнения
(1.20)
которые нужно решить.
Далее мы можем найти электронную плотность n как:
(1.21)
Так как и V_xc зависит от n , мы можем вычислить новый потенциал V_eff(r) используя LDA, GGA и другие приближения для обменной корреляции и уравнения Пуассона для электростатического взаимодействия
(1,22)
Мы продолжим этот процесс до тех пор, пока последовательность не приближается к какому-то пределу. Далее вычисляется энергия системы электронов и ядер, используя выражения общей энергии функционала (1.10).
Периодичность и симметрия кристалла.
Невозможно решить полученные выше уравнения, если вычисление выполняется для всех электронов изучаемого твердого тела. К счастью, потенциал кристалла имеет периодичность, т.е.
(1.23)
где T- вектор трансляции и - векторы решетка Браве.
Согласно теореме Блоха [49] волновые функции могут быть выбраны в виде плоских волн с периодом решетки Браве:
(1.24)
где – волновой вектор Блоха.
Теперь одноэлектронная волновая функция характеризуется Блоховским волновым вектором . Следовательно, уравнение (1.20) может быть написано следующим образом:
(1.25)
где индекс - заменен квантовым числом .
Одноэлектронная волновая функция и соответствующие ему собственные значения энергии могут быть, характеризованы Блоховским волновым вектором . Фазовый фактор для некоторых состояний имеет значение 1.
Это имеет место, когда волновой вектор соответствует постоянному вектору обратной решетки , который определяется как [50]:
(1.26)
где - постоянные числа, базисные векторы обратной решетки.
(1.27)
для
, (1.28)
Таким образом, периодичность решений в реальном пространстве приведет к периодичности их в обратном пространстве и электронные состояния с волновым вектором .
Таким образом, нет необходимости описывать электронную структуру твердого тела во всем его объеме. Мы можем только рассматривать поведение вектора в ограниченном периодическом обратном пространстве называемой зоной Бриллюэна.
Таким образом, из-за периодичности кристалла мы можем ввести оператор симметрии, который переводит один волновой вектор к другому, и упрощает нашу задачу. Самая маленькая возможная зона, которая определяет комплексы системы симметрии, называется первой зоной Бриллюэна. Например, в простой кубической решетке первая зона Бриллюэна состоит из 1/48 части полной зоны Бриллюэна и это есть только часть области, в которой нам нужно решить задачу электронный структуры.
Следующие принципы - это принцип энергии (минимальности обшей энергии) и принцип Паули, который утверждает, что энергетические состояния со значением заполнются, начиная с самого нижнего уровня [51]. Энергия самого верхнего наполненного состояния называется энергией Ферми.
Энергия Ферми определяется как:
(1.29)
где - число валентных электронов и - плотность электронных состояний (DOS) определяется как:
(1.30)
где интеграл берется во всем пространстве постоянной энергии S(E) в первой зоне Бриллюэна. Одночастичные электронные состояния и уровни энергии Ферми наиболее важны для физических свойств материала. Эти состояния являются важными для устойчивости кристаллической структуры, для электрических, магнитных и других свойств твердых тел.