14-Mavzu: Yuqori tartibli hosila va differensiallar. Differensial hisobning asosiy teoremalari: Ferma, Roll, Lagranj va Koshi teoremalari. Lopital qoidasi

Teylor formulasi.

f(x) funktsiya nuqtaning biror atrofi da aniqlangan bo’lib, bu atrofda hosilalarga ega va

hosila nuqtada uzluksiz bo’lsin . U holda ushbu

+ (17)

Formula o’rinli bo’ladi, bunda Bu formulani isbotlash uchun, avvalo quyidagi belgilashlar kiritamiz:

Agar

=

Ekanligini ko’rsatsak (17) formula isbot bo’ladi. oraliqda ixtiyoriy x nuqtani tayinlaymiz. Faraz qilaylik bo’lsin.

[ , oraliqda yordamchi

F(t)=

funktsiyani qaraylik.

F(t) funktsiya [ oraliqda Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi:

funktsiya [ oraliqda uzluksiz va differensiallanuvchi bo’lib,




(18)

da

F

t=x da

F

bo’ladi.

U holda Roll teoremasiga ko’ra shunday nuqta mavjudki,

bo’ladi.

(18) tenglikdan foydalansak,

bo’lib, bunda esa

ekanligi kelib chiqadi.

Odatda formula Teylor formulasi, esa qoldiq had (Logranj ko’rinishi) deyiladi.

Endi ning nuqtada uzluksizligidan foydalanamiz:

Bu esa da ekanligini bildiradi.

( qoldiq hading Peano ko’rinishi deyiladi.

Teylor formulasida bo’lgan hol alohida ahamiyatga ega:

(19)

Odatda (19) Makloren formulasi deyiladi. Bu formuladan funktsiya limitini toppish, taqribiy hisoblashlar masalalarida foydalaniladi.