14-Mavzu: Yuqori tartibli hosila va differensiallar. Differensial hisobning asosiy teoremalari: Ferma, Roll, Lagranj va Koshi teoremalari. Lopital qoidasi

Differensial hisobning asosiy teoremalari.

Quyida differensial hisobning asosiy teoremalari deb ataluvchi teoremalarni keltiramiz.

8-teorema (Ferma teoremasi). funktsiya intervalda berilgan bo’lib, u shu intervalning biror c nuqtasida o’zining eng katta (eng kichik) qiymatiga erishsin.

Agar funktsiya c nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsa, u holda

=0

bo’ladi.

Isbot. Aytaylik , funktsiya c nuqtada (c o’zining eng katta qiymatiga erishsin.Unda uchun

yani

bo’ladi.

Qaralayotgan funktsiya c nuqtada hosilaga ega. Binobarin, shu nuqtada funktsiyaning o’ng hosilasi mavjud va

shuningdek chap hosilasi mavjud va

bo’lib,

munosabatlardan

Bo’lishi kelib chiqadi. Funktsiyaning c nuqtada eng kichik qiymatiga ega bo’lib,uning

shu nuqtada hosilasi mavjud bo’lganda bo’lishi shunga o’xshash ko’rsatiladi. Teorema isbot bo’ldi.

9-Teorema (Roll teoremasi.) funktsiya [a, b]segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, bo’lsin. Agarfunktsiya (a,b) intervalda chekli hosilaga ega bo’lsa, u holda shunday c nuqta (c topiladiki,

bo’ladi.