Хосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли оддий дифференциал тенгламалар режа: Кириш I боб мавжудлик ва ягоналик теоремалари

2-§. Вектор ёзувли Коши масаласи
Агар (1) масалада ва лар вектор-функциялар, яъни , деб қаралса, у ҳолда (1) масаланинг ўрнига қуйидаги масалага эга бўламиз:


(8)

.
Юқоридаги каби Пикар теоремаси шартлари бажарилганда (8) масаланинг ягона ечими мавжуд бўлади. Бунда вектор-функциянинг узлуксизлиги деганда унинг координаталарининг узлуксизлиги тушунилади, (2) Липшиц шарти эса ҳар бир учун ҳар бир ўзгарувчи бўйича олинади. ва абсолют қийматлар ўрнига тегишли векторнинг узунлиги олинади.
Қуйидаги масала ҳам (8) масалага келтирилади. Берилган нуқтанинг атрофида аниқланган шундай функцияни топиш керакки, бу функция
(9)
тенгламани ва
..., (10)
бошланғич шартларни қаноатлантирсин.
Агар нуқтани ўз ичига олган бирор соҳада функ-ция ва унинг , , ,..., бўйича биринчи тартибли хусусий ҳосила-лари узлуксиз бўлса, у ҳолда {(9), (10)} масала нуқтанинг соҳа ичида бутунлай жойлашган етарлича кичик атрофида ягона ечимга эга. Агар деб олсак, {(9), (10)} масала ўрнига бошланғич шартлари
...,
бўлган

тенгламалар системасини ҳосил қиламиз.

1. Қуйидаги a) b) функция-лар полосада ўзгарувчи бўйича Липшиц шартини қаноатлантирадими?
◄ a) бўлсин. айирмани баҳолаймиз:

Сўнгра эканлигидан тенгсизлик ўринли бўлади. Бу эса функция полoсада ўзгарувчи бўйича Липшиц шартини қаноатлантиришини билдиради.
б) функция полосада ўзгарувчи бўйича Липшиц шартини қаноатлантиради, деб фараз қиламиз, яъни шундай мусбат N сони топила-дики, ҳамма нуқталар учун

муносабат ўринли бўлади.
Энди бўлсин. У ҳолда барча ва лар учун
, яъни
тенгсизлик ўринли бўлиши лозим. Лекин нинг етарлича кичик қиймат-ларида охирги тенгсизликнинг бажарилмаслиги кўриниб турибди. Демак, берилган функция полосада Липшиц шартини қаноатлантириши ҳақидаги фараз тўғри эмас, яъни функция Липшиц шартини қаноат-лантирмайди.►