Хосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли оддий дифференциал тенгламалар режа: Кириш I боб мавжудлик ва ягоналик теоремалари

5. , бошланғич шартли масаланинг ечими мавжуд бўла-диган бирон-бир кесмани кўрсатинг.
◄Пикар теоремасини қўллаймиз. Бизда функция ихтиёрий тўғри тўртбурчакда узлуксиз бўлади ва унинг ҳосиласи сон билан чегараланганлиги учун, функция шу тўғри тўртбурчакда Липшиц шартини ҳам қаноатлан-тиради. Шундай қилиб, агар , деб олсак, у ҳолда кесмада қўйилган масаланинг ягона ечими мавжуд. Энди сонни топамиз. Агар бирор кесмада ягона ечим мавжуд бўлса, у ҳолда кесманинг ичида жойлашган ундан кичикроқ ҳар қандай кесмада ҳам ечим мавжуд бўлади. Шунинг учун имкон қадар каттароқ кесмани, яъни ни топиш керак. бўлганда функция ўсувчи, функция эса камаювчи бўлганлиги учун ўзининг максимумига , яъни
(14)
бўлгандагина эришади.
Энди (14) тенгликнинг ўнг томонидаги нфодани нинг функцияси сифатида қараймиз: , бу ерда - бирор тайин сон.
функция да максимумга эришишини аниқлай қийин эмас. Бу максимумни ҳисоблаш учун қийматни (14) ифодага қўйиш керак. Ҳосил бўлган алгебраик тенгламани ечиб, аввал нинг, сўнгра нинг қийматларини топамиз:
, .
Шундай қилиб, қўйилган масаланинг ечими кесмада мавжуд ва ягона эканлигини кафолатлашимиз мумкин.
Агар Бихари леммасидан фойдалансак, ечим мавжуд бўладиган янаям каттароқ кесмани кўрсатишимиз мумкин бўлади.
Ҳақиқатан ҳам, бизнинг ҳолда

ва
, ,
яъни , , Шунинг учун
,
, .
Шунга биноан,
, , .
тенгламадан қийматни топамиз.
Берилган тенгламада нинг ўрнига ( ) олиб ( ) ва тегишли амал-ларни бажариб,
( )
тенгсизликни оламиз. Бу тенгсизлик кесмада ҳам ечим мавжуд-лигини кўрсатади. Шундай қилиб, кесмада ягона ечимнинг мавжудлигини кафолатлашимиз мумкин.►
6. Ягоналикнинг бирор етарли шартидан фойдаланиб, текисликда шундай соҳани ажратингки, бу соҳанинг ҳар бир нуқтаси орқали тенгламанинг фақат битта ечими ўтсин.
◄Бу ерда бўлганда тенгламанинг ўнг томони узлуксиз ва бўйича узлуксиз хусусий ҳосилага эга эканлиги равшан. Шунга би-ноан, Пикар теоремасига кўра, текисликнинг тўғри чизиқ-лардан бошқа ҳар бир нуқтаси орқали қаралаётган тенгламанинг ягона ин-теграл эгри чизиғи ўтади.►