Himoyaga tavsiya etilsin” Fizika-matematika fakulteti dekani t f. n., dotsent H. Xonboboyev

P(A·B)=P(A)·P(B) (7)

Haqiqatan ham, ko‘paytirish teoremasining dastlabki ifodasi A va B hodisalarning erkliligidan kelib chiqadigan tenglikni e’tiborga olsak, isbot qilinishi kerak bo‘lgan tenglikni hosil qilamiz.

Endi bir nechta A, B, ..., L hodisalarni qaraymiz. Agar A, B, ..., L hodisalar istalgan birining yuz berish ehtimoli boshqalarining yuz berishi yoki yuz bermasligiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu hodisalar birgalikda erkli deyiladi. (A, B, ..., L hodisalar jufti-jufti bilan erkli bo‘lishi ularning birgalikda erkli bo‘lishi uchun yeterli emas)

Hodisalar birgalikda erkli bo‘lgan holda ko‘paytirish teoremasini ularning ixtiyoriy chekli sondagisi uchun quyidagicha ta’riflash mumkin.

Birgalikda erkli bo‘lgan A, B, ..., L hodisalarning birgalikda yuz berish ehtimoli shu hodisalar ehtimollarining ko‘paytmasiga teng:

P(A·B·...·L)=P(A)·P(B)·...·P(L) (8)

Bu tenglikni to‘g‘riligiga matematik induksiya metodi orqali ishonch hosil qilish mumkin.

Misol. Ishchi uchta avtomat-stanokka hizmat ko‘rsatadi. U to‘xtab qolgan stanokning oldiga kelib, uni tuzatishi lozim. Bir soat davomida birinchi stanokning to‘xtamaslik ehtimoli 0,9 ga teng. Ikkinchi va uchinchi stanoklar uchun bu ehtimol mos ravishda 0,8 va 0,7 ga teng. Bir soat davomida ishchining hech bir satanokning oldiga kelmaslik ehtimoli qancha?

Agar stanoklar bir-biriga bog‘liqsiz ishlaydi deb hisoblasak, u holda uchala hodisaning birgalikda yuz berish ehtimoli ko‘patrish teoramasiga asosan ushbu ko‘paytmaga teng bo‘ladi:

P(A·B·C)=0,9·0,8·0,7=0,504

Misol. Samolyotning vintovkadan uzilgan o‘q bilan urib tushirish ehtimoli p=0,004. 250 ta vintovkadan biryo‘la o‘q uzilganda dushman samolyotini urub tushirish ehtimolini toping.

Bitta o‘q uzilganda samolyotning urib tushirilmaslik ehtimoli qo‘shish teoremasiga asosan 1-p=0,996 ga teng. U holda 250 ta o‘q uzilganda samolyotning urib tushirilmaslik ehtimolini hodisalarning birgalikda yuz berish ehtimoli sifatida ko‘paytirish teoremasiga asosan hisoblash mumkin. Bu ehtimol ga teng. So‘ngra yana qo‘shish teoremasidan foydalanib, samoliyotning urib tushirish ehtimolini qarama-qarshi hodisaning ehtimoli sifatida topamiz:

.

Bundan ko‘rinadiki, har bir o‘q bilan samolyotni urib tushirish ehtimoli juda kichik bo‘lsa-da, 250 ta vintovkadan bir yo‘la o‘q uzilganda, samoliyotni urib tushirish ehtimoli sezilarli darajada katta bo‘ladi. Bu ehtimol miltiqlar sonini orttirsak, yanada ortib boradi. Masalan, samolyotni urib tushirish ehtimoli 500 ta vintovkadan o‘q uzilganda ga, 1000 ta vintovkadan o‘q uzilganda esa hatto ga teng bo‘ladi.

Endi yuqoridagi misolni eng umumiy holda tahlil qilishimiz mumkin. biror hodisaning har bir sinovda yuz berish ehtimoli p ga teng bo‘lsin. Quyidagi ikkita masalani hal etaylik:

1. 
   bu hodisaning N ta erkli sinovda hech bo‘lmaganda bir marta yuz berish ehtimoli P qancha?
   
2. 
   Bu hodisaning hech bo‘lmaganda bir marta yuz berish ehtimoli P ushbu dan kichik bo‘lmasligi uchun nechta sinov o‘tkazilishi kerak?
   

Yuqoridagi misolda qilingan mulohazalarni takrorlab:

1. 
   masalaning yechimini
   

formula bilan aniqlanishini topamiz.

2. 
   Masalani hal qilish uchun tengsizlikni yechish talab qilinadi. Bu tengsizlikni yechib,
   

ni hosil qilamiz.

Yuqorida isbot qilingan ko‘paytirish teoremasi qo‘shish teoremasini birmuncha kengaytirish, uni birgalikda bo‘lgan hodisalar uchun ham tarqatish imkonini beradi.Agar A va B hodisalar birgalikda bo‘lsa, u holda bu hodisalardan hech bo‘lmaganda birining yuz berish ehtimoli bu hodisalar ehtimollarining yig‘indisiga teng emas. Masalan, o‘yin soqqasini tashlaganda juft sondagi ochko tushishi A hodisa, uchga karrali sondagi ochko tushishi B hodisa bo‘lsa, u holda (A+B) hodisaga 2, 3, 4, va 6 ochkolarning tushishi qulaylik tug‘diradi, ya’ni

.

Ikkinchi tomondan, va , ya’ni . Shunday qilib, bu holda