|
1.3-§ Sinovlarni takrorlash. Bernulli sxemasi.
Ehtimollarni qo‘shish va ko‘paytirish qoidalari ancha murakkab ehtimollarni ham topishga imkon beradi. Biz quyida undan ham umumiyroq va keng tarqalgan sxemalardan biri bo‘lgan Bernulli sxemasi bilan tanishamiz.
Biror sinov natijasida A hodisa yuz berishi yoki yuz bermasligi mumkin bo‘lsin. A hodisaning yuz berishini P(A)=p orqali, uning yuz bermaslik ehtimolini esa P(Ᾱ)=1-p=q orqali belgilaymiz.
Ketma-ket o‘tkaziladigan ikkita erkli sinovning mumkin bo‘lgan natijalarini qaraylik. Bu natijalarning ehtimollari ham keltirilgan sxema bilan ta’riflanadi. (1-jadval).
1-jadval
Endi A hodisaning ikki marta yuz berish ehtimoli ga, uning bir marta yuz berish ehtimoli (qaysi sinovda yuz berishini farqi yo‘q) 2pq ga, A ning bir marta ham yuz bermaslik ehtimoli ga teng bo‘lishini hisoblash qiyin emas. Bu natijalar yagona mumkin bo‘lgan hodisalar ekanligi ravshan, shu bilan birga
Yuqorida yuritilgan mulohazani sinovlar soni ko‘proq bo‘lganda ham qiyinchiliksiz amalga oshirish mumkin. Masalan, uchta sinovda A hosidaning ketma-ket uch marta yuz berish ehtimoli ga teng. A hodisaning qaysi tartibda bo‘lsa ham ikki marta yuz berish ehtimolini topish uchun uning ikki marta yuz berishi AAᾹ, AᾹA, ᾹAA natijalarni mumkin ekanligini aniqlaymiz. Bu hodisalarni har birini yuz berish ehtimoli ga teng. Demak, A hodisaning uchta sinovdan ikkitasida yuz berish ehtimoli ga teng. A hodisaning uchta sinovda bir marta yuz berish ehtimoli ham yuqoridagidek hisoblanadi. Bu ehtimollar mos ravishda ga teng va hodisaning bir marta ham ro‘y bermaslik ehtimoli ga teng bo‘ladi. Yuqoridagidek, bu holda ham
+ + + =1
bo‘ladi.
Endi masalani ta’riflash mumkin. Har birida A hodisaning yuz berish Ehtimoli o‘zgarmas bo‘lgan n ta erkli sinov o‘tkaziladi. Bu o‘zgarmas ehtimol p bo‘lsin. A hodisaning n ta sinovda rosa m marta ro‘y berish ehtimoli ni topish talab qilinadi.
Bunday masala, masalan, n ta o‘q uzilganda ulardan m tasining nishonga tegish ehtimolini hisoblashda, shuningdek, quyida qaraladigan ko‘pgina hollarda uchraydi.
Avvalo, ikkita chetki xususiy hol, ya’ni va ehtimollarni ko‘paytish teoremasiga ko‘ra osongina hisoblash mumkin:
va
Endi n ta sinovda A hodisaning biror tayin tartibda masalan,
holdagidek rosa m marta yuz berish ehtimolini hisoblaymiz. Bu ehtimolning ga teng ekanligi ravshan. Shuningdek, A hodisaning boshqa biror tartibda rosa m marta yuz berish ehtimoli ham ga teng bo‘ladi. n ta elementdan A hodisaning har xil tartibda m marta uchraydigan qilib tuzish mumkin bo‘lgan barcha sxemalar soni n ta elementdan m tadan mosliklar soni ga teng bo‘ladi.
Shuning uchun ehtimollarni qo‘shish teoremasidan foydalanib, Ushbu formulani hosil qilamiz:
(1)
Bu formuladan ko‘rinadiki, ehtimollar
binom yoyilmasidagi ayrim qo‘shiluvchilardan iborat ekan. Shu sababli (1) formula binomial formula deyiladi.
Shunday qilib, yuqorida ta’riflangan masala to‘la hal qilindi. Endi hosil qilingan formulani quyidagi misolda ko‘rsatamiz.
1-misol. Tanga 6 marta tashlanadi. Gerbli tomonning 0,1,...,6 marta tushish ehtimoli qancha?
Bu holda . Yuqorida hosil qilingan formuladan foydalanib, quyidagi natijalarga kelamiz:
Gerbli tomon tushishining eng katta ehtimolli soni m=3 ekanligi ravshan, biroq bu ehtimol o‘z-o‘zicha uncha katta emas.
2-misol. Yonilg‘i bilan to‘ldirilgan rezervuarga qarata sakkizta o‘q uziladi. Rezervuar birinchi o‘q tekkanda teshiladi, ikkinchi o‘q tekkanda esa yinilg‘i yona boshlaydi. Agar uzilgan o‘qning rezervuarga tegish ehtimoli 0,2 ga teng bo‘lsa, rezervuarni yondirib yuborish ehtimolini toping. Avvalo, qarama-qarshi hodisaning ehtimolini, ya’ni rezervuarning yonmaslik ehtimolini topamiz. Bu hodisa rezervuarga tekkan o‘qlar soni birdan katta bo‘lmagan holda yuz beradi va uning ehtimoli ga teng.
Bu yerda p=0,2 va q=0,8 bo‘lganligidan
Bundan rezervuarni yondirib yuborish ehtimoli
P=1-0,503=0,497
ga teng bo‘lishi kelib chiqadi.
Misol. Har bir otilgan o‘qning nishonga tegish ehtimoli p= . Otilgan 10 ta o‘qdan uchtasining nishonga tegish ehtimolini toping.
Yechish. n=10; k=3; p= ; q= . U holda Bernulli formulasiga asosan:
EXCEL dasturining standart funksiyalari:
Standart funksiyalar: Bernulli sxemasida A hodisaning n tajribaning m tasida tasodifiy ro‘y berish ehtemolligi va hodisaning ko‘pi bilan m marta ro‘y berish ehtemolligi maxsus
nomli funksiya yordamida hisoblanadi. Bunda ro‘y berishlar soni; - barcha tajribalar soni; - har bir tajriba uchun hodisaning ro‘y berish ehtemoli; - ushbu parametrga qiymati berilsa ehtimollik hisoblanadi; parametrga qiymati berilsa ehtimollik hisoblanadi;
n tajriba o‘tkazilganda hodisaning hech bo‘lmaganda bir marta ro‘y berish ehtemolini hisoblash uchun maxsus funksiyaga murojaat quyidagicha:
;
n tajriba o‘tkazilganida hodisaning ro‘y berishlar soni orasida bo‘lish ehtimoli ni hisoblash uchun maxsus funksiyaga murojaat quyidagicha:
.
m ning o‘sishi bilan ehtimolning avval o‘sishi, keyin esa m ning biror qiymatdan boshlab kamayishi birinchi misoldan ko‘rinib turibdi. Bu umumiy holda ham o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz va m ning shunday qiymatini aniqlaymizki, bu qiymatida berilgan n va p uchun ehtimol eng katta bo‘ladi.
Yonma-yon turgan ikkita va ehtimollarni taqqoslaymiz:
Keyingi hadning oldingi hadga nisbati
(2)
bo‘ladi. Bu nisbatdagi ikkinchi ko‘paytuvchi m ga bog‘liq bo‘lmagan o‘zgarmas kattalik. Birinchi ko‘paytuvchi esa m o‘sishi bilan kamayadi, chunki uning surati kamayib maxraji o‘sadi. Bundan foydalanib, ushbu qator tengsizliklarni yozamiz:
Tajribalar soni n ni np>q va nq>p tengsizliklar o‘rinli bo‘ladigan darajada yetarlicha katta deb faraz qilsak, u holda
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi.
Shunday qilib, nisbat m ning kichik qiymatlarida birdan katta bo‘lib, keyin esa birdan kichik bo‘ladi.
Shunday butun sonni tanlaymizki, u uchun , ammo m ning barcha m> qiymatlarida <1 tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. Boshqacha qilib aytganda,
m< bo‘lganda ,
m= bo‘lganda ,
m> bo‘lganda .
ehtimol m= da (berilgan n uchun) eng katta qiymatga ega bo‘lishi ravshan. Agar bo‘lsa, bu ehtimol m ning ikkita m= va m= +1 qiymatlarida eng katta qiymatga erishadi. Avvalo ni bu oxirgi holda aniqlaymiz. Bu yerda
bundan esa
Do'stlaringiz bilan baham: | 
