Himoyaga tavsiya etilsin” Fizika-matematika fakulteti dekani t f. n., dotsent H. Xonboboyev

np-p = q+q

ni hosil qilamiz, demak, =np-q.

Binobarin, agar np-q butun son bo‘lsa, hodisa yuz berishining eng katta ehtimolli sonlari =np-q va +1=np-q+1=(n+1)p bo‘ladi.

Agar np-q butun son bo‘lmasa, u holda nisbat darhol birdan katta qiymatdan birdan kichik qiymatiga o‘tadi. Faraz qilaylik, shunday butun son bo‘lsinki, uning uchun

>1 <1

tengsizliklar o‘rinli bo‘lsin. (2) formulaga muvofiq,

.

Demak, np- p+p> q, ya’ni <np+p.

Ikkinchi tomondan,

yoki

np- p

demak, np-q butun son bo‘lmaganda uchun ushbu

np-q< (3)

tengsizliklar hosil bo‘lib, ular n ta tajribada A hodisaning ehtimolli yuz berish soni yotadigan chegarani ko‘rsatadi.

Hosil qilingan formulalar tadbiq qilinadigan misollar ko‘raylik.

Misol. O‘yin soqqasi ketma-ket to‘qqiz marta tashlanadi. Uchga bo‘linadigan ochkolar tushishining eng katta ehtimolli sonini toping.

Bu ehtimolni, uchga bo‘linadigan ochkolar ko‘pi bilan ikki marta tushish ehtimolini, shuningdek, uchga bo‘linadigan ochkolar aniq uch marta tushish ehtimolini ham hisoblaymiz.

Uchga bo‘linadigan ochkolar tushish ehtimoli ga teng. (3) tengsizlikka asosan hodisaning eng katta ehtimolli soni uchun

ni topamiz, bundan . (1) formulaga asosan, hodisaning rosa uch marta yuz berish ehtimoli:

Uchga bo‘linadigan ochkolar ko‘pi bilan ikki marta tushish ehtimoli esa yig‘indi sifatida hosil qilinishi mumkin:

Misol. Korxonada ishlab chiqarilgan detallarning yaroqsiz bo‘lish ehtimoli 0,005 ga teng. 10000 detaldan iborat partiyada yaroqsiz detallar soni: a) rosa 40 ta, b) ko‘pi bilan 70 ta bo‘lish ehtimolini toping.

Bu yerda p=0,005, q=0,995, n=10000, m=40 bo‘lgani uchun birinchi savolga bevosita formula orqali javob izlaymiz:

Ikkinchi savolga javob berish uchun ehtimollarni qo‘shish teoremasidan foydalanamiz. U holda izlanayotgan ehtimol quyidagi yig‘indi orqali ifodalanadi:

Haqiqaten ham, agar yaroqsiz detallar soni ko‘pi bilan 70 ta bo‘lsa, u holda ular yo 0 ta, yoki 1 ta, yoki 2 ta, yoki, , yoki 70 ta bo‘ladi. Bu hodisalar birgalikda emas.

Shunday qilib qo‘yilgan ikkala savolga ham javob bera oldik. Biroq bu yerda talab qilinadigan hisoblashlarni bajarish amalada juda og‘ir. Shuning uchun bu ehtimolni aniq bo‘lmasada lekin boshqa unga yaqinroq taqribiy qiymatini topish uchun formulani topishga ehtiyoj tug‘iladi.

Misol. Basketbol to‘pi to‘rga tashlanmoqda. To‘pning to‘rga tushish ehtimoli 0,6 ga teng. To‘p 8 marta tashlandi. To‘pning rosa 2 marta to‘rga tushish ehtimolini toping. To‘pning to‘rga tushishining eng ehtimolli soni va unga mos ehtimolini toping.

Yechish: To‘pning rosa ikki marta to‘rga tushish ehtimoli Bernulli formulasidan topiladi. Bu yerda n=8, m=2, p=0,6, q=0,4. U holda



_{To‘pning to‘rga tushishining eng ehtimolli soni (2) formulaga ko‘ra}

yoki

4,4< <5,4

Kelib chiqadi, bundan esa =5. Bu songa mos ehtimol:

_{ekanligi kelib chiqadi.}

Misol. Tanga 6 marta tashlandi. Gerbli tomon tushishlarning eng ehtimolli sonini toping.

Yechish: Berilgan masalaning shartlariga ko‘ra n=6, p=q=1/2. U holda gerbli tomon tushishining eng ehtimolli soni k₀ ni

yuqoridagi formuladan foydalanib topamiz.

Demak, eng ehtimolli son k₀=3 bo‘ladi.