Himoyaga tavsiya etilsin” Fizika-matematika fakulteti dekani t f. n., dotsent H. Xonboboyev

1.2-§ Murakkkab ehtimollar. Ehtimollikning qо‘shish va kо‘paytirish teoremalari

Ehtimollik haqida tushuncha.

Tasodifiy hodisa – bu berilgan sharoitda ro‘y beradigan yoki rо‘y bermaydigan hodisa. Tanga tashlanganda raqam tomoni bilan tushishi, lotereya bо‘yicha yutuq chiqishi, otilgan о‘qning nishonga tegishi tasodifiy hodisalarga misol sifatida qaralishi mumkin. Shu bilan birga amaliyot nuqtai-nazardan alohida olingan hodisalar bilan emas, balki yetarlicha kо‘p sonli, ommaviy xarakterga ega hodisalarning qonuniyatlarini о‘rganish maqsadga muvofiq. Masalan, korxona uchun alohida maxsulot emas, balki tayyorlangan maxsulotlardan qanchasi sifatli yoki yaroqsiz ekanini bilish ahamiyatliroq.

Shu kabi masalalarni yechish uchun alohida tajriba ya’ni sinash о‘tkaziladi va ularning oqibatlari о‘rganiladi. Har bir tajriba ma’lum shartlar va sharoitlar asosida bir necha marotaba о‘tkazish mumkinligi bilan xarakterlanadi. Bunda bir-birini rad etuvchi va rо‘y berish imkoniyatlari bir xil bо‘lgan joiz oqibatlar (elementar hodisalar) tо‘plami alohida о‘rin tutadi. Shu tо‘plamni biz  orqali belgilaymiz.

1-Misol. O‘yin kubchasi bir marta tashlansin. Bunda elementar hodisalar tо‘plami ={e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆} kо‘rinishga ega, bu yerda e_i – «i – raqamli tomoni bilan tushdi» elementar hodisasi.

2-Misol. Elektr asbobni ishdan chiqmasdan hizmat qilish. Bunda har bir elementar hodisa musbat haqiqiy son bilan ustma-ust tushadi, ya’ni elementar hodisalar tо‘plami =(0, +) kо‘rinishga ega.

Amaliyotda elementar hodisalardan tashqari, murakkabroq hodisalar qiziqtiradi. Masalan, о‘yin kubchasi bir marta tashlanganda « juft raqamli tomoni bilan tushdi» hodisasi, yoki «elektr asbob 3000 soat mobaynida ishdan chiqmasdan hizmat qildi» kabi hodisa.

 - hodisa xech qanday elementar hodisalarni о‘z ichiga olmaydi (ya’ni, xech qanday xollarda rо‘y bermaydi), shuning uchun rо‘y bermasligi aniq hodisa,  hodisa esa doimo rо‘y berib muqarrar hodisa deb yuritiladi.

Ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalarni rо‘y berish qonuniyatlarini о‘rganadi. Shuning uchun tasodifiy xodisa ro‘y berishi imkoniyatlarini kattaligini bildirish uchun qiymatlari [0,1] segmentda qabul qiladigan maxsus funksiya – ehtimollik kiritilishi lozim.

Tabiiyki, bunda muqarrar hodisaning ehtimolini 1 ga, rо‘y bermasligi aniq xodisaning ehtimolini esa 0 ga teng deb qabul qilishimiz lozim. Bundan tashqari elementar hodisalarning rо‘y berish imkoniyatlari bir xil deb hisoblaymiz.

Berilgan hodisaga qulaylik tug‘diruvchi hollarni bevosita hisoblash ancha qiyinchilik tug‘dirishi mumkin. Shuning uchun hodisalarni ehtimollarini aniqlashda uni boshqa soddaroq hodisalar kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalash qulayroqdir. Biroq bunda hodisani boshqa hodisalarning kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalashda hodisaning ehtimoli bo‘ysunadigan qoidalarni bilish kerak bo‘ladi. Qo‘shish va ko‘paytirish teoremalari ayni shu qoidalar turkumiga kiradi.

Bu teoremalarning birinchisi bir necha hodisalardan kamida birining yuz berish ehtimolini hisoblashga imkon beradi.

Qo‘shish teoremasi. A va B birgalikda bo‘lmagan hodisalar bo‘lsin. Bu hodisalardan kamida bittasining yuz berish ehtimoli ularning ehtimollari yig‘indisiga teng, ya’ni

P(A+B)=P(A)+P(B). (1)

Isboti. hodisalar n ta imkoniyatli jufti-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalar to‘la gruppasi bo‘lsin. Agar , bo‘lsa, u holda bu n ta elementar hodisalar orasida A hodisaga qulaylik tug‘diruvchi rosa ta, B hodisaga qulaylik tug‘diruvchi rosa ta hodisa bo‘ladi. A va B hodisalar birgalikda bo‘lmagani uchun hodisalardan hech biri A va B ning ikkalasiga ham qulaylik tug‘dirishi mumkin emas. A va b hodisalarning kamida bittasini yuz berishidan iborat bo‘lgan (A+B) hodisaga A hodisaga qulaylik tug‘diruvchi hodisalarning har biri, shuningdek, B hodisaga qulaylik tug‘diruvchi hodisalarning har biri qulaylik tug‘diradi. Shuning uchun (A+B) hodisaga qulaylik tug‘diruvchi elementar hodisalarning jami soni ga teng, bundan

kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.

Yuqorida ikkita hodisa uchun ta’riflangan qo‘shish teoremasini ixtiyoriy chekli sondagi hodisalar uchun to‘g‘riligini ko‘rish qiyin emas. A, B, C, ...,L birgalikda bo‘lmagan hodisalar bo‘lsa, u holda

P(A+B+C+ ...+L)=P(A)+P(B)+P(C)+...+P(L). (2)

Masalan, hodisalar uchta bo‘lgan holda

P(A+B+C)=P[(A+B)+C]=P(A+B)+P(C)

tenglikni yoza olamiz, bundan esa yuqoridagi mulohaza to‘g‘iligi kelib chiqadi. Qo‘shiluvchilar soni ko‘p bo‘lgan hollarda matematik induksiya metodidan foydalanish kerak bo‘ladi.

Quyidagi mulohaza qo‘shish teoremasidan kelib chiqadigan muhim natijadir: agar hodisalar yagona mumkin bo‘lgan va birgalikda bo‘lmagan hodisalar bo‘lsa, u holda

(3)

Haqiqatan ham, ( + +...+ ) hodisa muqarrar bo‘lib, uning ehtimoli birga teng. Xususiy holda, agar A va Ᾱ hodisalar o‘zaro qarama-qarshi hodisalarni ifodalasa, u holda

P(A)+P(Ᾱ)=1,

ya’ni ikkita o‘zaro qarama-qarshi hodisalarning ehtimollari yig‘indisi birga teng.

Misol. Nishonga “a’lo” bahoda o‘q uzish ehtimoli 0,3 ga, “yaxshi” bahoda o‘q uzish ehtimoli esa 0,4 ga teng. Otilgan o‘q uchun “yaxshi” bahodan kam baho olmaslik ehtimoli qancha?

Agar A hodisa “a’lo” baho olishni, B hodisa esa “yaxshi” baho olishni bildirsa, u holda

P(A+B)=P(A)+P(B)=0,3+0,4=0,7.

Misol. Ichida n ta oq, qizil va qora shar bo‘lgan yashikda k ta oq va l ta qizil shar bor. Yashikdan rangi qora bo‘lmagan shar olish ehtimoli qancha?

A hodisa olingan sharning oq bo‘lishini, B hodisa esa uning qizil bo‘lishini ifoda qilsin. Olingan sharning qora rangli bo‘lmasligi uning oq yoki qizil rangli bo‘lishini bildiradi. Ehtimolning ta’rifiga ko‘ra

P(A)= , P(B)=

bo‘lganligi uchun qora rangli bo‘lmagan shar chiqish ehtimoli qo‘shish teoremasiga ko‘ra

P(A+B)=P(A)+P(B)= + =

Bu masalani quyidagicha ha yechish mumkin. C – qora rangli shar chiqishidan iborat hodisa bo‘lsin. Qora rangli sharlar soni n-(k+l) ga teng bo‘lgani uchun.

Qora rangli bo‘lmagan sharning chiqishi C hodisaga qarama-qarshi hodisa bo‘ladi., shuning uchun qo‘shish teoremasining yuqorida ko‘rsatilgan natijasiga ko‘ra o‘sha

natijaga ega bo‘lamiz.

Misol. Pul-buyum lotoreyasida 1000 ta biletli har bir seriyaga 120 ta pul yutuq va 80 ta buyum to‘g‘ri keladi. Bitta lotoreya biletiga biror yutuq chiqish ehtimoli qancha?

Agar A orqali pul yutuq chiqishini, B orqali esa buyum yutuq chiqishini belgilasak, u holda ehtimollik ta’rifiga ko‘ra

; .

Bizni qiziqtirayotgan hodisa (A+B) dan iborat, shuning uchun qo‘shish teoremasidan

P(A+B)=P(A)+P(B)=0,12+0,08=0,2

kelib chiqadi. Shunday qilib, biror yutuq chiqish ehtimoli 0,2 ga teng ekan.

Navbatdagi teoremaga o‘tishdan oldin muhim tushunchalardan biri bo‘lgan shartli ehtimol tushunchasini kiritamiz. Bu tushunchani misol orqali tushuntiramiz.

Omborda ikkita zavodda tayyorlangan 400 ta elektr lampochkasi bo‘lib, shu bilan birga hamma lampochkalarning 75%i birinchi zavodda, 25%i ikkinchi zavodda tayyorlangan bo‘lsin. Aytaylik, birinchi zavodda tayyorlangan lampochkalarning 83%i standart talabiga javob bersin, ikkinchi zavod uchun esa bu ko‘rsatkich 63%ga teng bo‘lsin. Ombordan tasodifan olingan lampochkaning standatr talabiga javob berish ehtimolini toping.

Standart lampochkalar umumiy soni birinchi zavodda tayyorlangan 400·0,75·0.83=249 ta va ikkinchi zavodda tayyorlangan 400·0,25·0,63=63 ta lampochkadan iborat, ya’ni 312 ta ekanini topamiz. Agar tanlangan lampochkaning standart bo‘lishini B hodisa desak, uning yuz berishiga 400 ta holdan 321 tasi qulaylik tug‘diradi, chunki har bir lampochkaning chiqishi teng imkoniyatli; u holda

Bu tanlangan lampochkaning qaysi zavod mahsuloti ekanligini hech qanday tahmin qilganimiz yo‘q. Agar shunga o‘xshash biror talab qo‘yilsa, biz izlayotgan ehtimol o‘zgarishi ravshan. Masalan, agar tanlanayotgan lampochkaning birinchi zavodda tayyorlangani (A hodisa) ma’lum bo‘lsa, u holda uning standart bo‘lish ehtimoli 0,78 ga emas, 0,83 ga teng bo‘ladi.

Bu turdagi ehtimol, ya’ni B hodisaning A hodisa yuz berish sharti ostidagi ehtimoli uning shartli ehtimoli deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi.

Agar yuqorida keltirilgan misolda A orqali tanlangan lampochkaning birinchi zavodda tayyorlangan bo‘lishini belgilasak, u holda tenglikni yozish mumkin.

Endi hodisalarning birgalikda yuz berish ehtimolini hisoblashga doir muhim teoremani ta’riflash mumkin.

Ko‘paytirish teoremasi. A va B hodisalarning birgalikda yuz berish ehtimoli bu hodisalardan birining ehtimolini ikkinchi hodisaning birinchi hodisa yuz bergandagi shartli ehtimoliga ko‘paytmasiga teng bo‘ladi:

. (4)

Bu yerda A·B hodisalarning birgalikda yuz berishi deyilganda ularning ikkalasi ham, ya’ni ham A hodisa, ham B hodisaning yuz berishi tushuniladi.

Isbot. Har biri A hodisaning, shuningdek, B hodisaning yuz berishiga qulaylik tug‘diradigan yoki qulaylik tug‘dirmaydigan n ta ga teng imkoniyatli jufti-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalarning to‘la gruppasini qaraylik.

Bu hodisalarning hammasini quyidagicha to‘rtta gruppaga ajratamiz. Birinchi gruppaga hodisalar ichida hammasi ham A hodisaga, ham B hodisaga qulaylik tug‘diruvchi hodisalarni kiritamiz; ikkinchi va uchinchi gruppalarga hodisalar ichida bizni qiziqtirayotgan hodislardan biriga qulaylik tug‘diruvchi va ikkinchisiga qulaylik tug‘dirmaydigan hodisalarni kiritamiz; masalan, ikkinchi gruppaga A hodisaga qulaylik tug‘diradigan, lekin B hodisaga qulaylik tug‘dirmaydigan hodisalar, uchinchi gruppaga esa B hodisaga qulaylik tug‘diradigan lekin A hodisaga qulaylik tug‘dirmaydigan hodisalar kiritiladi; nihoyat, to‘rtinchi gruppaga hodisalar ichida A hodisaga ham, B hodisaga ham qulaylik tug‘dirmaydiganlarini kiritamiz.

hodisalar nomerlanishi ahamiyatga ega bo‘lmaganligi sababli ajralgan gruppalar quyidagicha bo‘ladi;

I gruppa: ;

II gruppa: ;

III gruppa: ;

IV gruppa:

Shunday qilib, teng imkoniyatli va jufti-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan n ta hodisalar orasida ham A hodisaga, ham B hodisaga qulaylik tug‘diruvchi k ta hodisa, A hodisaga qulaylik tug‘diradigan, lekin B hodisaga qulaylik tug‘dirmaydigan l ta hodisa, B hodisasga qulaylik tug‘diradigan, lekin A hodisaga qulaylik tug‘dirmaydigan m ta hodisa, va nihoyat, A hodisaga ham, B hodisaga ham qulaylik tug‘dirmaydigan n-(k+l+m) ta hodisa bor.

Biz ko‘rib o‘tgan gruppalarning birortasida (hatto bir nechtasida ham) birorta ham element bo‘lmay qolishi ham mumkin. Bu holda shu gruppadagi hodisalar sonini ko‘rsatuvchi tegishli son nolga teng bo‘ladi.

Hodisalarni yuqorida ko‘rsatilgandek gruppalarga ajratishimiz ushbu

, ,

tengliklarni yozishga imkon beradi, chunki A va B hodisalarning birga likda yuz berishiga faqat I gruppadagi hodisalar imkiniyat tug‘diradi. A hodisaga qulaylik tug‘diruvchi hodisalarning jami soni birinchi va ikkinchi gruppadagi hodisalarning umumiy soniga, B hodisaga qulaylik tug‘diruvchi hodisalar soni esa birinchi va uchinchi gruppadagi hodisalarning jami soniga teng.

Endi ehtimolni, ya’ni B hodisaning A hodisa yuz berganligi shartidagi <sub>ehtimolini hisoblaymiz. Bu holda uchinchi va to‘rtinchi gruppalarga kiritilgan hodisalar hisobga olinmaydi, chunki bu hodisalarning yuz berishi A hodisaning ro‘y berishiga ziddir. Demak, mumkin bo‘lgan barcha hodisalar soni n ta emas, balki k+l ta bo‘ladi. Bulardan B hodisaga birinchi gruppa hodisalarigina qulaylik tug‘diradi. Shunung uchun



tenglikni yoza olamiz.

Teoremani isbot qilish uchun endi ushbu</sub>

ayniy tenglikni yozib, undagi uchala kasrni ham yuqoridagi qiymatlari bilan almashtirish kifoya.

<sub>tenglik hosil bo‘lib, teorema isbot bo‘ldi.

Yuqorida yozilgan ayniyat k+l≠0 bo‘lgandagina ma’noga ega ekanligi o‘z-o‘zidan ravshan. Bu esa A hodisa mumkin bo‘lmagan hodisa bo‘lmagan barcha hollarda o‘rinli.

A va B hodisalar teng huquqli bo‘lgani uchun ularning o‘rinlarini almashtirib, ko‘paytirish teoremasining boshqacha ko‘rinishini hosil qilamiz:

(5)

Bu tenglikni, shuningdek, ekanligini hisobga olib va ayniyatdan foydalanib, yuqoridagi yo‘l bilan hosil qilish ham mumkin edi.</sub>

P(A·B) ehtimol uchun hosil qilingan ikkita ifodaning o‘ng tomonlarini taqqoslab, ko‘p hollarda foydali bo‘lgan

(6)

tenglikni hosil qilamiz.

Endi ko‘paytirish teoremasini misollar orqali tushuntiramiz.

Misol. Korxona mahsulotining 96%i yaroqli (A hodisa) deb qaraladi. Har 100 ta yaroqli mahsulotdan 75 tasini birinchi navli (B hodisa) bo‘lar ekan. Tasodifan olingan mahsulatning birinchi navli bo‘lish ehtimoli qancha?

Izlanayotgan ehtimol A va B hodisalarni birgalikda yuz berishidan iborat bo‘lgan (A va B) hodisaning ehtimolidir. Shartga ko‘ra P(A)=0,96 va . Shuning uchun ko‘paytirish teoremasi quyidagi natijani beradi:

P(A·B)=0,96·0,75=0,72.

Misol. Ayrim o‘q uzishda o‘qning nishonga tegish (A hodisa) ehtimoli 0,2 ga teng. Agar portlatgichlarning 2% i portlamay qolsa (ya’ni 2% o‘q portlamay qoladi), o‘qning nishonga tegish ehtimoli qancha?

B hodisa o‘qning otilishidan iborat hodisa, unga qarama-qarshi hodisa bo‘lsin. U holda masala shartiga ko‘ra bo‘lib, qo‘shish teoremasining natijasiga binoan, . So‘ngra shartga ko‘ra .

O‘qning nishonga tegishi A va B hodisalarning birgalikda yuz berishidan iborat bo‘lgan hodisadir. Shuning uchun ko‘paytirish teoremasiga asosan

Agar hodisalarning erkliligi tushunchasidan foydalansak, ko‘paytirish teoremasining muhim xususiy holini hosil qilamiz.

Agar ikkita hodisadan birining ehtimoli ikkinchisining yuz berishi yoki yuz bermasligi natijasida o‘zgarmasa, u holda bu hodisalar erkli hodisalar deyiladi.

O‘yin soqqasining takror tashlashda u yoki bu ochkolar tushishi, shuningdek, tangani takror tashlashda u yoki bu tarafining tushishi erkli hodisalarga misol bo‘la oladi, chunki tangani ikki marta tashlashda gerbli tomon tushish ehtimoli tangani birinchi tashlashda gerbli tomon tushgan yoki tushmaganligidan qat’iy nazar ga teng.

Shunga o‘xshash, oq va qora sharlar solingan yashikdan olingan birinchi shar unga qayta solinsa, ikkinchi marta olingan sharning oq bo‘lsh ehtimoli birinchi olingan sharning oq yoki qora bo‘lishiga bog‘liq emas. Shuning uchun birinchi va ikkinchi marta shar shar olish natijalari o‘zaro erkli bo‘ladi.

Aksincha, agar olingan shar yashikka qayta solinmasa, u holda ikkinchi marta shar olishdagi natija birinchi marta shar olish natijasiga bog‘liq ravishda o‘zgaradi. Bu esa bog‘liq hodisalarga misol bo‘ladi.

Shartli ehtimol uchun qabul qilingan belgilashlardan foydalanib, A va B hodisalarning erklilik shartini

yoki

ko‘rinishda yozish mumkin.

Agar A va B hodisalar erkli bo‘lsa, u holda ularning birgalikda yuz berish ehtimoli bu hodisalar ehtimollarining ko‘paytmasiga teng: