Gruppa tushunchasi

Gomomorf va izamorf gruppalar
Faraz qilaylik , va gruppalar berilgan bo`lsin . ning har bir elementi biror qoida bo`yicha ning bitta (yagona) elementiga , shui bilan birga ning hamma elementlari ning hamma elementlariga akslansin . Bu xolda gruppa gruppaga bir qiymatli akslandi deyiladi.
elementning elementga akslanishini kabi yoki ko`rinishda belgilaymiz. ning ga akslanishi ham kabi yoki
ko`rinishda belgilanadi.
1-tarif. gruppa elementlarining gruppa elementlariga bir qiymatli akslanishi elementlarni ko`paytirishda ham o`z kuchini saqlasa, yani, va elementlar uchun bo`lgan va
akslanish kelib chiqsa , gruppa gruppaga gomomorf akslanadi deyiladi.
gruppaning gruppaga gomomorf akslanishi bu gruppalarning gomomorf izmi deyiladi. Bu xolda va gruppalar gomomorf gruppalar deb ham ataladi. gruppaning gruppaga gomomorf akslanishi kabi ham belgilanadi.
Malumki, bir qiymatli akslanishda ning umuman , bir qancha, xatto, cheksiz ko`p elementlari ning bitta elementiga akslanadi. Demak, bu xolda va bo`lsa ham , lekin, = bo`lishi mumkin . Ikkinchi belgilanishni ishlatsak, shartda bajarilishi mumkin.
Ko`payitrish assotsiativ bo`lgani uchun dan kelib chiqadi.ikkinchi belgilanishni ishlatadigan bo`lsak,


= yoki qisqacha kelib chiqishini ko`ramiz. Bundan, shartda xosil bo`ladi.
1-teorema. va gruppalarning gomomorfizmida :
1) bunda va -birlik elementlar;
2) dan kelib chiqadi.
Isboti. 1. va desak, , bir tomondan , ikkkinchi tomondan bo`lgani uchun akslanishning bir qiymatliligiga asosan ni xosil qilamiz. bundan esa kelib chiqadi.
2. va dan xosil bo`ladi. Lekin, . shu sababli bo`lib , bundan ga kelamiz.
Teoremaning ikkinchi qismiga muvofiq,
dan
=
ni xosil qilamiz. endi tenglikda o`rniga ni olsak va ni nazarda tutsak , = yoki = kelib chiqadi. Yana = ning ekanini xisobga olsak , istalgan butun son uchun

tenglik o`rinli degan xulosaga kelamiz
gruppaning dagi birlik elementga akslanuvchi hamma elementlari to`plamini bilan belgilaymiz .
2-teorema. qism to`plam ning normal bo`luvchisidir.
Isboti. 1. Avval ning da gruppa tashkil etishini ko`rsatamiz; chunki va dan kelib chiqadi, bu ekanini bildiradi . So`ngra chunki dan xosil bo`lgani uchun dir.
∈ sisyemalarning har qaysisi ga qarshli , bunda ga . xaqiqatdan bu sistemalarning . va elementlari uchun va bo`lganligidan , dir. Shu sababli va . Ikkinchi munosabatni chapdan ga va o`ngdan ga ko`paytirib, ni xosil qilamiz. Endi va kelib chiqadi. Buni o`ngdan ga ko`paytirish bilan ni topamiz. Bu esa ning da normal bo`luvchi ekanini tasdiqlaydi.
normal bo`luvchi gomomorfizm yadrosi deyiladi.