Gruppa tushunchasi

Lagranj teoremasi. Chekli gruppaning tartibi bu gruppadagi istalgan qism gruppaning tartibini uning indeksiga ko`paytirilganiga teng.
Isboti. (4) yoyilmaning chap tomonida ta element , o`ng tomonida ta element bo`lgani uchun dir.
Shunday qilib , chekli gruppadagi xar bir qism gruppaning tartibi va indeksi gruppa tartibining bo`luvchisidir.
Masalan , yuqoridagi birinchi misolda gruppaning tartibi 6 ga , qism gruppaning tartibi va indeksi mos ravishda 2 va 3 ga teng bo`lib, 6=2 3 dir.
Siklik gruppalar
Ixtiyoriy gruppaning elementini olib , uning barcha butun darajalaridan tuzilgan
(1)
To`plamni qaraymiz. ekanligi ravshan , chunki xar bir butun daraja ning elementidir.
1-teorema. to`plam ning qism gruppasidir
Isbot. Qism gruppaning zaruriy va yetarli sharti bajariladi:
va
ni element tomonidan vujudga keltirilgan siklik gruppa deyiladi va kabi belgilanadi.
Bu yerda ham ikki xol ro`y berishi mumkin:
1-xol. da har xil elementlar soni chekli, ya`ni chekli gruppa. Masalan , gruppa chekli bo`lganda bu xol albatta ro`y beradi . Demak bu xolda ning (1) darajalari orasida bir biriga tenglari albatta bor, ya`ni

Bunda ,chunki shartda (2) tenglik bitta darajani ifodalaydi. Bu yerda deb faraz qilsak , (2) dan
=
kelib chiqadi. Demak ning ga teng musbat darajalari mavjud. Bunday daraja ko`rsatkichlar orasida eng kattasi yo`q, chunki istalgan natural son uchun (3) bilan birga

ham o`rinli . lekin ular orasida eng kichigi bor; uni bilan belgilaymiz; shartda bo`lib , shartda esa dir. Shunday qilib,
(4)svirlaydi
Tenglik bajarilib, lekin musbat son uchun bo`ladi.