Gruppa tushunchasi

GRUPPALAR
GRUPPA TUSHUNCHASI
Chekli yoki cheksiz to`plamda bitta algebraik amal aniqlangan deb faraz qilamiz. Demak bu amal to`plamda bajariluvchan va bir qiymatlidir. Bu yerda ham algebraik amalni ko`paytirish deb atab, istalgan ikkita element ko`paytmasini yoki ko`rinishda belgilaymiz. Shunday qilib, uchun bo`lib ikkita element ko`paytmasi ning yagona elementiga tengdir.
1-ta`rif. Quyidagio ikkita aksiomaga bo`ysinuvchi chekli yoki cheksiz to`plam, yarimgruppa deyiladi:
1)
2) .
Demak yarim gruppada bitta algebraik amal aniqlangan va ning elementlarini ko`paytirish assotsiativdir.
Masalan, butun sonlar to`plami yolg`iz qo`shish amali yoki yolg`iz ko`paytirish amaliga nisbatan yarimgruppa tashkil qiladi, P sonlar maydoni ustida n-tartibli kvadrat matritsalar to`plami ham matritsalarni qo`shish va ko`paytirishga nisbatan yarimgruppa tashkil etadi.
2-ta`rif. Quyidagi to`rtta aksiomaga bo`ysinuvchi chekli yoki cheksiz to`plam gruppa deb ataladi:
1) da algebraik amal aniqlangan);
2) da ko`paytirish assotsiativ).
3)
4) (xar bir da o`ng teskari element mavjud).

ko`rinishda belgilanadi
gruppada ko`paytirish kommutativ bo`lishi shart emas.
Agar gruppa yana talabni ham qanoatlantirsa, ni kommutativ gruppa (yoki Abel gruppasi ), bo`lgan holda ni nokommutativ gruppa deyiladi.
gruppaning shartni qanoatlantiruvchi elementlari o`rin almashinuvchi elementlar, bo`lgan holda esa o`rin almashinmas elementlar deyiladi. gruppaning quyidagi asosiy xossalarini ko`rib o`tamiz.
1. gruppa ning o`ng birligi chap birlik ham bo`ladi.
Xaqiqatdan , 3- aksioma bo`yicha yoki 4- aksiomada aytilgan ga muvofiq,

Yana 4-aksiomaga ko`ra bo`lganligi sababli (1) dan ushbuni hosil qilamiz : yoki . Demak , element uchun o`ng birlik vazifasini bajaruvchi element chap birlik ham bo`ladi.
da yagona birlik element mavjud , chunki va birlik elementlar bo`lsa, va dan , ko`paytmaning bir qiymatliligiga asosan darxol kelib chiqadi.
2. Xar bir elementning o`ng teskari elemanti chap teskari element vazifasini ham bajaradi.
Xaqiqatdan ham , bilan birga , 4-aksiomaga muvofiq

bo`ladi. Buning ikkala tomonini chapdan ga ko`paytirib , quyidagiga ega bo`lamiz: yoki . Demak, (2) ko`rinishni oladi, yani element ning chap teskari elementi vazifasini ham bajaradi.
ga teskari element mavjud, chunki va ni ga teskari element desak , . ga yagona teskari element ko`rinishda belgilanadi. Shunday qilib ,

va lar o`zaro teskari elementlar deyiladi.
3. dan va kelib chiqadi.
Xaqiqatdan ni chap va o`ng tomondan ga ko`paytirsak , quyidagini xosil qilamiz:
(3)
Endi (3) ni chap va o`ng tomondan , quyidagiga ega bo`lamiz.
.
4. tenglamalar mos ravishda yagona
yechimlarga ega.
Bu yechimlar ni chap tomondan , ni esa o`ng tomondan ga ko`paytirish bilan hosil qilinadi.
5. …., elementlarni ko`paytirish umuman assotsiativdir.
Xaqiqatdan ham, ni ko`rinishda yoza olamiz. Endi uchta elementni ko`paytirish assotsiativ bo`lganidan, va hakazo. Demak, ta element ko`paytmasini qacssiz yoza olamiz:
.
6. elementini ko`paytirish bajariluvchan va bir qiymatli.
Xaqiqatdan ham , va bir qiymatli ; va bir qiymatli ; va bir qiymatli va hakazo.
7. …., …., ko`paytmasiga teskari element bo`ladi.
Xaqiqatdan ham ,
Shunday qilib, dir . Xususiy xolda
8. elementning darajasi deymiz. Shuningdek ni bunday ham yozamiz:
U xolda ning darajasiga ega bo`lamiz. Endi , uchun deb qabul qilamiz. Demak, elementning istalgan butun darjasi yana ning elementi bo`ladi.
Quyidagilarni isbotlash osson :
,
Bunda va istalgan butun sonlar. Faqat o`rin almashinuvchi va elementlar uchungina bo`ladi. Shuni ham aytib o`taylikki , o`zaro teskari elementlardir, chunki

Elementlarining soni chekli bo`lgan gruppa chekli gruppa , elementlari cheksiz ko`p bo`lgan gruppa cheksiz gruppa deyiladi. Gruppaning elementlari soni uning tartibi deyiladi. Shunday qilib chekli va cheksiz tartibli gruppalar mavjud.