Группа: 21151 Предмет: Современной метод вычислительной математики

Новосибирский государственный университет

Факультет: Механика-математика

Направления: Математика и механика

Группа: 21151

Предмет: Современной метод вычислительной математики

Студент: Зикиров Бобур Зубайдулло угли

Билет № 69. Численные методы решения жестких систем дифференциальных уравнений с частными производными. Метод коллокации и наименьших квадратов.

Общая постановка краевой задачи

Рассмотрим краевую задачу для системы дифференциальных уравнений с частными производными

Lu(x) = f(x), х, (1)

Мu(х) = g(x), х , (2)

где L, М - дифференциальные операторы, u - вектор неизвестных функций, f и g - векторы известных правых частей.

Пусть uh — приближенное решение, тогда определим невязку в виде

R ≡ L uh— f (3)

Если невязка равна R ≡ 0, то и = uh, т.е. решение является точным.

Минимизацию невязки R можно использовать как способ построения приближенного решения исходной краевой задачи.

•  

Метод коллокации

Идея метода коллокации

Идея метода коллокации заключается в минимизации невязки путем приравнивания ее к нулю в некоторых заданных точках - ТОЧКАХ КОЛЛОКАЦИИ. Конкретная реализация метода коллокации зависит от выбора точек коллокации и выбора представления приближенного решения

где - вектор неизвестных коэффициентов, a - вектор базисных функций (обычно полиномов). ППП COLSYS - одна из известных практических реализаций, где в качестве базисных функций используются B - сплайны.

•  

Идея метода коллокации

• при этом где

В методе коллокации число уравнений совпадает с числом неизвестных

•  

Связь метода коллокации и интерполяции

Между методом коллокации и интерполяцией существует тесная связь. Можно сказать, что интерполяция является частным случаем метода коллокации. При интерполировании дифференциальные операторы L ≡ М ≡ I . Т.е. функция невязки в этом случае является погрешностью интерполяции