Группа: 21151 Предмет: Современной метод вычислительной математики

Описание метода КНК

В каждой ячейке j , j= 1, , выписываются:

Уравнения коллокации, умноженные на в точках коллокации

, (,)

где - положительный весовой коэффициент

• Условия согласования (склейки решения)

где - внешняя нормаль к границе j-ой ячейки, , - пределы приближенного решения задачи при стремлении изнутри и извне соответственно к границе ячейки, - положительные весовые коэффициенты.

• Краевые условия где - положительный весовой коэффициент. Записывая эти уравнения - в каждой ячейке получаем локальную переопределенную СЛАУ. Совокупность всех локальных СЛАУ по ячейкам -глобальная СЛАУ, которая определяет глобальное решение задачи.

•  

Точки записи уравнений в 1D и 2D случаях

Условие согласования

Рассмотрим условие согласования в точке (между ячейками с номерами s и s+1. Выпишем это условие для каждой из ячеек.

Имеем:

(

где (cos(a), sin(a)) — вектор нормали. В случае прямоугольных ячеек нормали будут иметь вид: (±1, 0), (0, ±1). Рассмотрим случай (±1, 0):

Прибавляем и отнимаем

•  

S S+1

глобальной СЛАУ

Способы решения глобальной СЛАУ

• Метод итераций по подобластям

Каждая ячейка сетки является подобластью. Одна "глобальная итерация” состоит из последовательного решения локальных СЛАУ во всех ячейках области. При этом в правой части условия согласования в качестве v берутся либо значения решения на текущей итерации, если они уже сосчитаны, либо их значения на предыдущей итерации. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится условие

где — коэффициент полинома, аппроксимирующего решение в ячейке с номером j на n-й итерации, j= 1, величина — наперед заданная малая константа.

•  

глобальной СЛАУ

1

2