Группа: 21151 Предмет: Современной метод вычислительной математики

R = L uh— f = uh— f (4)

Известно, что если условия интерполяции не могут быть выполнены точно, то вместо интерполяции нужно перейти к более общей задаче аппроксимации, например, методом наименьших квадратов (МНК). Этот подход можно перенести на метод коллокации

Минимизация функционала невязки

Метод коллокации i=0, … N

МНК

•  

Метод коллокации и наименьших квадратов

Метод коллокации и наименьших квадратов

В методе КНК невязка не равна нулю в точках коллокации

Метод коллокации
МКН
Метод коллокации и наименьших квадратов

Решение уравнения Пуассона методом КНК

Постановка задачи.

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона

(5)

в квадратной области с внешней границей . Здесь и — заданные функции. Требуется найти функцию удовлетворяющую (5).

•  

Описание метода КНК

1.Покроем исходную область регулярной сеткой NxN, состоящей из квадратных ячеек размера 2hx2h по направлениям осей соответственно, j= 1, , где = — количество расчетных ячеек. 2. Для удобства реализации метода в каждой ячейке области введем локальные координаты

(6) где , - центр j-ой ячейки j= 1, . Положим далее v(,) = u((), ()). 3. Задача (5) после замены (6) в локальных переменных примет следующий вид:

((), ()). (,)

v=g((), ()) , (,) j= 1, . (7)

•  

Описание метода КНК

4. В каждой j-й ячейке сетки ищем приближенное решение задачи в локальных переменных ищем в виде линейной комбинации базисных элементов пространства полиномов некоторой степени относительно двух переменных с неопределенными коэффициентами. Полиномы Чебышева

где

•  

Описание метода КНК

• Мономы
• Другие виды полиномов: ортогональные (Лежандра, Эрмита, Лаггера), Лагранжа (барицентрическая форма), Ньютона и т.д.