Graflar u’stinde a’meller Graflar u’stinde apiwayi a’meller

1- saldar. Tegis graf to’besin ten’lik orinli, bunda , , – jaqlar sani, – baylanisliliq komponentalar sani.
2- saldar. Esel qabi’rg’alari bolmag’an ilmeksiz tegis -graf to’besin ten’sizlik orinli.
Da’lilleniwi. Haqiyqattan da, ha’r bir jaq hesh bolmag’anda u’sh qabi’rg’a menen shegaralang’anlig’i ha’m jaqlari’n shegaralawshi qabi’rg’alardi’ sanag’anda ha’r bir qabi’rg’a eki ma’rte esapta qatnasqanlig’i to’besin ten’sizlik orinli (aytip o’temiz , eger grafta to’be to’be ha’m eki qabi’rg’a bolsa, onda ten’sizlik orinlanadi). ten’sizlikten Eyler formulasin su’wrette qollap, ten’sizlikti payda etemiz. ■
13- lektsiyada ha’m graflardi’n' planar emesligi aytip o’tilgen (Da’lilleniwisiz keltirilgen) edi. Endi bul tastiyiqlawlardi’ qattiy Da’lilleniwilew mu’mkin.
3- teorema. graf planar emes.
Da’lilleniwi. planar graf bolsi’n dep oylaymiz. Planar graf to’besin ten’sizlik orinli. graf to’besin ha’m bolg’anlig’inan bul ten’sizlik ko‘rinisdegi naduris qantasqa alip keledi. Demek, graf planar emes.
4- teorema. graf planar emes.
Da’lilleniwi. planar graf bolsi’n dep oylaymiz. Bul grafta 6 to’be ( ) ha’m 9 qabi’rg’a ( ) bolg’ani to’bein, Eyler teoremasi’na ko‘re, onnan 5 ( ) jaq boli’wi’ kerek. grafti’n’ ha’r bir jag’i keminde to‘rt qabi’rg’a menen shegaralang’anlig’i sebebli bul graf to’besin ten’sizlik orinli. Biraq bul ten’sizlik graf to’besin ko‘rinisdegi naduris qatnasina alip keledi. Demek, graf planar emes.
Da’lilleniwilew mu’mkin, to’mendegi tastiyiqlaw orinli.
5- teorema. Eger bazi bir graf yaki grafqa gomeomorf bolg’an u’les grafqa iye bolsa, onda bul graf tegislikte jatiwshi bolmaydi.
1930-jilda K. bul tastiyiqlawqa keri tastiyiqlawdi’ da’lilleydi: eger graf tegislikte jatiwshi bolsa’ykes a,onda ol yaki grafqa gomeomorf bolg’an u’les grafqa iye boladi’. Uliwma alg’anda, graflardi’n’ planarlig’i haqqindag’i bul tiykarg’i na’tiyje K. Kuratovskiydan aldin 1922-jilda L. S. Pontryagin ta’repinen Da’lillengen, biraq na’tiyje sol waqi’t ta dag’azalanbag’an edi.