Гимназия №1 города Полярные Зори

Ekstremumni topish qoidasi


1° . Funksiyaning ekstremumini topish uchun quyidagilar zarur:
1) bu funksiyaning hosilasini toping;
2) hosilani nolga tenglashtirib, hosil bo‘lgan tenglamani yechish; olingan ildizlardan haqiqiylarni tanlang va ularni kattaligi bo'yicha (qulaylik uchun) eng kichikdan kattagacha tartibga soling; barcha ildizlar xayoliy bo'lsa, bu funktsiya ekstremumga ega emas;
3) statsionar nuqtalar bilan chegaralangan oraliqlarning har birida hosila belgisini aniqlash;
4) agar hosila berilgan statsionar nuqtaning chap tomonida yotgan oraliqda musbat, berilgan turg’un nuqtadan o’ng tomonida yotgan intervalda manfiy bo’lsa, bu nuqta funksiyaning maksimal nuqtasi bo’ladi, lekin hosila berilgan statsionar nuqtaning chap tomonida manfiy va o'ng tomonida musbat bo'lsa, bu nuqta funktsiya minimal nuqtasidir; agar hosila statsionar yupqaning chap tomonida ham, o'ng tomonida ham bir xil belgiga ega bo'lsa, u holda bu nuqtada funktsiyaning na maksimali, na minimali mavjud;
5) berilgan funksiya ifodasidagi argumentni funksiyaning maksimal yoki minimumini beradigan qiymat bilan soyalash; mos ravishda funksiyaning maksimal yoki minimal qiymatini olamiz.
Agar funktsiyada uzilish nuqtalari bo'lsa, unda bu nuqtalar Oxni hosilaning belgisi aniqlanadigan intervallarga bo'luvchi statsionar nuqtalar soniga kiritilishi kerak .
Ikkinchi hosila yordamida ekstremumni topish


1° . Lemma. Agar x = c da hosila ijobiy (yoki manfiy) bo'lsa, u holda x = c nuqtaning etarlicha kichik qo'shnisida funktsiyaning o'sishi va c nuqtadagi argumentning o'sishi bir xil (yoki turli) belgilarga ega.

lim (∆y/∆x)>0.
∆x→0
Qarama-qarshilik bilan isbotlash. Aniqlik uchun f '( c )>0 bo'lsin, ya'ni .
Faraz qilaylik, ∆x nolga moyil bo'lgani uchun o'sishlar ∆ y va ∆x turli belgilarga ega. U holda ∆y/∆x nisbati manfiy va uning chegarasi
f'(c) ≤ 0,
bu shartga zid keladi.
Lemmaning ikkinchi qismi ham xuddi shunday isbotlangan.
2° . Teorema. Agar x \u003d c da f ( x ) funktsiyasining birinchi hosilasi nolga teng bo'lsa, f '( c ) \u003d 0 va ikkinchi hosila ijobiy bo'lsa, f "( c )> 0, u holda x nuqtasida \u003d c f ( x ) funktsiyasi minimalga ega;
agar ikkinchi hosila manfiy bo'lsa, f "(c) < 0 , keyin x \u003d c nuqtasida f ( x ) funktsiyasi maksimalga ega.

f ’’(c) = lim ((f’(c + ∆x)-f ’(c))/∆x)>0.
∆x→0
Isbot. Birinchi hosilaga nisbatan ikkinchi hosila berilgan funksiyaga nisbatan birinchi hosila bilan bir xil, yaʼni.
Lemmaga ko'ra, agar x = c uchun hosila (bu holda, ikkinchisi) musbat bo'lsa, u holda c nuqtaning etarlicha kichik 2 d ' mahallasida , funktsiyaning o'sishi (bu holda, birinchi hosila) ) argumentning ortishi bilan bir xil belgiga ega. c nuqtaning chap tomonida argumentning o'sishi manfiy, ya'ni funktsiyaning o'sishi ham manfiy, ya'ni.
f '(c - ∆x)—f(c)<0, (0 < ∆x < d).
Bu yerdan :
f'(c-∆x)(bitta).
c nuqtasining o'ng tomonida argumentning o'sishi ijobiy, ya'ni.
f '(c +∆x)-f '(c)>0.
Bu yerdan :
f '(c + ∆x)>f '(c) = 0 . (2)
f ( x ) funksiyaning c nuqtaning chap tomonidagi birinchi hosilasi manfiy (1), o‘ng tomoni esa musbat (2). Demak, x = c nuqtada f ( x ) funksiyasi isbotlash talab qilinganidek minimalga ega.
f "(c)<0 holatda ham isbotlangan .
3° . Isbotlangan teorema ekstremumni topishning ikkinchi usulini belgilaydi. Uning birinchisidan farqi shundaki, birinchi usulning uchinchi va to‘rtinchi amallari quyidagilar bilan almashtiriladi: a) ikkinchi hosilani topish va b) statsionar nuqtada uning belgisini aniqlash. Tadqiqot natijasini quyidagicha ifodalash mumkin:

f "(c) raqamining belgisi bo'lsa ,	u holda x = c f ( x ) uchun
ortiqcha minus	eng kam maksimal

Agar f '(c) = 0 bo'lsa, u holda maksimal va minimal funktsiyani o'rganish birinchi usulda amalga oshirilishi kerak.

4° . 1-misol. Funktsiyaning maksimal va minimumiga ikkinchi yo'lni o'rganing: y \u003d 5 - x ² - x ³ - x ⁴ /4.
Yechim. 1. Birinchi hosilani toping:
y ' \u003d - 2x - G x ² - x ³
2. Birinchi hosilani nolga tenglang va hosil bo‘lgan tenglamani yeching:
- 2 x - Z x ² - x ³ \u003d 0 yoki x ( x ² + 3x + 2) \u003d 0 ,
shuning uchun x \u003d 0 yoki x ² + 3x + 2 \u003d 0.
Kvadrat tenglamani yechish x ² + 3x + 2 = 0, biz quyidagilarga erishamiz:
x = (-3 ⁺ 1)/2.
Uchta statsionar nuqta mavjud: x ₁ \u003d - 2, x ₂ \u003d - 1 va x ₃ \u003d 0 .
3. Ikkinchi hosilani toping:
y" \u003d - 2 - b x - Z x ² .
4. Ikkinchi hosilaning belgisini aniqlang, x ni birinchisida, keyin ikkinchisida, keyin uchinchi statsionardagi qiymati bilan almashtiring.
nuqta:
x = - 2 y'' = - 2 - 6 (- 2) - 3 (- 2) 2 ⁼ - 2 , x = - 1 y" = - 2 - 6 (- 1) - 3 (- l ) da ² \u003d + 1 , x \u003d 0 y "\u003d - 2 uchun .
Shuning uchun, bu funktsiya x \u003d -1 da minimal va maksimal x \u003d - 2 va x \u003d 0 da ,
2-misol, funktsiyani maksimal va minimal uchun ko'rib chiqing: y \u003d x ⁴ .
Yechim: 1 ) y ' = 4 x ³ ;
2) 4x ³ = 0; x = 0 ;
3) y " = 12 x ² ;
4) x = 0 y " = 0 da .
Ikkinchi hosila nolga teng ekanligi ma'lum bo'lganligi sababli, biz tadqiqotni birinchi usulda o'tkazamiz: x < 0 uchun y' = 4 x ³ < 0 , va x > 0 uchun y' = 4 x ³ > 0 . Shuning uchun y \u003d x ^{4 funktsiyasi} x = 0 nuqtada minimumga ega .
5° . Ekstremumni topishning ikkinchi usuli, ikkinchi hosila oddiygina topilgan taqdirda qo'llash mantiqiydir; agar differentsiatsiya qiyin transformatsiyalar bilan birga bo'lsa va birinchi hosila ifodasini soddalashtirmasa, unda birinchi usul maqsadga tezroq olib kelishi mumkin.