|
Miqdorlarning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish masalalari
1° . To'r uzunligi 60 bo'lgan to'siq uchun talab qilinadi m uyning devoriga ulashgan to'rtburchaklar maydoni (do'zax). Eng katta maydonga ega bo'lishi uchun uchastkaning uzunligi va kengligi qanday bo'lishi kerak?
Yechim. Kesim kengligi x bo'lsin m, a maydoni y m 2 , keyin:
y \u003d (60-2 x ) x \u003d 60 x - 2x 2
X va y qiymatlari manfiy bo'lishi mumkin emas, shuning uchun 60 omil 2 x > 0 va 0< x < 30 ga teng .
y maydoni x funktsiya bo'lib, uning ortishi va kamayishi oraliqlarini aniqlaymiz:
y ' = 60 - 4 x .
y '>0 va funksiya x <15 bo'lganda ortib bormoqda ; y <0 va funksiya x >15 bo'lganda kamayib boradi .
Agar kenglik x = bo'lsa
|
0
|
5
|
o'n
|
o'n besh
|
yigirma
|
25
|
o'ttiz
|
u holda maydon y =
|
0
|
250
|
400
|
450
|
400
|
250
|
0
|
0 ning boshidan M (x = 15 ) nuqtasiga ko'tariladi va keyin tusha boshlaydi. x=15 nuqtada funksiya eng yuqori qiymatga ega.
Shuning uchun, uchastkaning maydoni eng katta (maksimal), kengligi x = 15 m, uzunligi esa 60 - 2 x = 60 - 30 = 30 (m) bo'lsa.
2° . Uning perimetri eng kichik bo'lishi uchun maydoni 36 x 2 bo'lgan to'rtburchaklar xonaning o'lchamlari qanday bo'lishi kerak ?
Yechim. Uzunligi x m, keyin to'rtburchakning kengligi 36/ x m , perimetri esa:
Y=2(x+36/x)=2x+72/x.
Y ning perimetri x ning barcha musbat qiymatlari uchun aniqlangan x uzunlik funksiyasi :
0< x <+∞
Uning ortishi va kamayish oraliqlarini aniqlaymiz :
y'=2-72/x 2 =2(x 2 -36)/x 2 =2(x-6)(x+6)/x 2 .
x -6 ayirma belgisi bilan aniqlanadi . Vaqtinchalik
0< x <6 y '<0 , va 6< x <+∞ y '>0 oralig'ida .
Perimetr 0< x <6 oraliqda kamayadi va 6< x <+∞ oraliqda ortadi . Jadvalga muvofiq grafik (do'zax) quramiz:
Agar x =
|
→0
|
3
|
to'rtta
|
5
|
6
|
7
|
sakkiz
|
→∞
|
Keyin y =
|
→∞
|
o'ttiz
|
26
|
24.4
|
24
|
24.3
|
25
|
→∞
|
Shuning uchun, to'rtburchakning perimetri, agar uning uzunligi 6 bo'lsa, eng kichik qiymatga (minimal) ega m va kengligi 36/6 m = 6 m, ya'ni kvadrat bo'lganda.
Funktsiyaning maksimal va minimumi
Kattaliklarning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish masalalari texnologiyada katta ahamiyatga ega va misollardan ko'rinib turibdiki, funktsiyaning maksimal va minimumini topishga qisqartiriladi.
Ta'rif. 1. f ( x ) funktsiyasi x=c uchun maksimal qiymatga ega bo'ladi, agar uning x=c uchun qiymati x=c nuqtaning qaysidir qo'shnisida olingan x ning boshqa har qanday qiymatidan katta bo'lsa.
2. f ( x ) funksiyasi x = c uchun minimal qiymatga ega bo'ladi, agar uning x = c uchun qiymati x = c nuqtaning ba'zi qo'shnilarida olingan x ning boshqa har qanday qiymatidan kichik bo'lsa.
"Maksimal" va "minimal" atamalari ular uchun bitta umumiy atamaga birlashtirilgan "ekstremum".
Funksiyaning maksimal (yoki minimal) qiymatini beradigan argumentning qiymati maksimal (minimal) nuqta yoki ekstremum nuqta deb ataladi.
Funktsiya faqat maksimalga ega bo'lishi mumkin, masalan, y = 60 x - 2x 2 funktsiyasi (111-rasm) yoki faqat minimal, masalan, y \u003d 2x + 72 / x funktsiyasi (dev. 112), yoki bor
maksimal va minimal, masalan, y \u003d x 3 - - x 2 - 8x + 2 funktsiyasi (108-rasm). Funksiya bir nechta maksimal va minimaga ega bo‘lishi mumkin (113-rasm), bunda maksimal va minimal o‘rin almashadi. Funksiyada na maksimal, na minimal bo‘lishi mumkin. Masalan, y \u003d x 3 , y \ u003d ctgx , y \ u003d a x funktsiyalari na maksimal, na minimumga ega, chunki x -∞ dan +∞ gacha oshgani sayin birinchi va uchinchi funksiyalar ortadi, ikkinchisi esa faqat kamayadi.
Funktsiyaning maksimal (minimal) qiymati uning maksimal (eng kichik) qiymati bo'lmasligi mumkin. Shunday qilib, do'zaxda tasvirlangan. 113 funktsiyasi c nuqtada mavjud . 1 M 1 bilan maksimal qiymatdan kattaroq qiymat va c 3 M 2 va c 0 nuqtasida qiymat minimal c 2 m 1 va c 4 m 2 , minimal c 4 m 2 dan kichikdir. 1 M 1 bilan maksimaldan ko'proq . Funktsiyaning ma'lum bir nuqtadagi maksimal (minimal) odatda ekstremum nuqtasining chap va o'ng tomonida joylashgan nuqtalardagi qiymatlari bilan solishtirganda, faqat unga etarlicha yaqin joylashgandagi eng katta (eng kichik) qiymatidir.
Do'stlaringiz bilan baham: |
