Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

2. Qo‘shma operatorlar

chiziqli normalangan fazoni chiziqli normalangan fazoga
akslantiruvchi chiziqli uzluksiz operator berilgan bo‘lsin, ya’ni

Bizga ixtiyoriy chiziqli chegaralangan funksional berilgan bo‘lsin. Bu funksionalning elementga ta’sirini qaraymiz Osongina ko‘rsatish mumkinki, funksional da aniqlangan biror chiziqli funksionalni aniqlaydi. Shunday qilib,
(2.1)
Endi (2.1) tenglik bilan aniqlangan funksionalning chiziqli ekanligini ko‘rsatamiz:

(2.2)
(2.2) tenglik barcha va ixtiyoriy lar uchun o‘rinli. Demak, chiziqli funksional ekan. Endi uning chegaralangan ekanligini (uzluksizligini) ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy uchun

tengsizlik o‘rinli. Bu yerdan funksionalning chegaralanganligi kelib chiqadi.
Agar funksionalning nuqtadagi qiymatini deb belgilasak, u holda
(2.3)
2.1-ta’rif. Bizga chiziqli normalangan fazolar va chiziqli chegaralangan operator berilgan bo‘lsin. Agar biror operator va ixtiyoriy lar uchun

tenglik o‘rinli bo‘lsa, operator ga qo‘shma operator deyiladi.
Demak, har bir funksionalga (2.3) tenglik bilan aniqlanuvchi funksionalni mos qo‘yuvchi operator operatorga qo‘shma operator deb ataladi.
Qo‘shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:
1. operator chiziqli.
2.
3. Ixtiyoriy son uchun
4. Agar uzluksiz bo‘lsa, u holda ham uzluksiz bo‘ladi.
Aniqrog‘i, quyidagi tasdiq o‘rinli.
2.1-teorema. Agar bo‘lsa, u holda va

tenglik o‘rinli.
Isbot. Funksional hamda operator normasining xossalariga ko‘ra,

Bu yerdan

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Demak,
(2.4)
Endi shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy element bo‘lsin, deymiz. Ko‘rinib turibdiki, Xan-Banax teoremasining natijasiga ko‘ra, shunday funksional mavjudki, va ya’ni

Bu yerdan,

tenglikka ega bo‘lamiz. U holda

munosabatdan
(2.5)
tengsizlikni olamiz. (2.4) va (2.5) munosabatlardan

tenglik kelib chiqadi.