Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

1.10. Parametr ning qanday qiymatlarida
(1.15)
operatorga 1.6-teoremani qo‘llash mumkin?
Yechish. operatorni ko‘rinishda yozib olamiz. operator sifatida (1.7-misolga qarang)
,
ni, operator sifatida esa

ni olamiz. 1.7-misolda operatorning teskarisi mavjud va ekanligi ko‘rsatilgan edi. 1.6-teoremani (1.15) tenglik bilan aniqlangan operatorga qo‘llashimiz uchun
(1.16)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan ning barcha qiymatlarini topishimiz kerak. Shu maqsadda operatorning normasini topamiz. Buning uchun norma kvadratini baholaymiz:
. (14.17)
Biz bu yerda Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan hamda

tenglikdan foydalandik. (1.17) dan
(1.18)
tengsizlik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan desak, u holda
va
bo‘ladi. Ma’lumki,
. (1.19)
(1.18) va (1.19) lardan tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerdan barcha lar uchun (14.16) ning, ya’ni tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. 1.6-teoremaga ko‘ra, barcha larda operatorga teskari operator mavjud va chegaralangan. 1.8-misoldagidek, ekanligidan operatorga chegaralangan teskari operator mavjud emas degan xulosa kelib chiqmaydi. ∆
1.11. Quyidagi operatorning teskarilanuvchan emasligini ko‘rsating
. (1.20)
Yechish. Ma’lumki, chiziqli operator teskarilanuvchan bo‘lishi uchun tenglama faqat yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli. (1.20) formula bilan berilgan operator uchun funksiyani olsak, bo‘lgani uchun
.
Demak, tenglama nolmas yechimga ega, 14.3-teoremaga ko‘ra, operator teskarilanuvchan emas. ∆

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1. 
   Teskarilanuvchan operator ta’rifini keltiring.
   
2. 
   Chiziqli operatorga teskari operator har doim chiziqli bo‘ladimi?
   
3. 
   Chiziqli chegaralangan operatorga teskari operator mavjud bo‘lsa, u chiziqli chegaralangan bo‘ladimi? Misollarda tushuntiring. 1.5, 1.6-misollarga qarang.
   
4. 
   - chiziqli operatorning yadrosi nolmas elementni saqlasa, u holda ga teskari operator mavjud bo‘lishi mumkinmi?
   
5. 
   1.10-misoldagi operatorga teskari operatorni toping.
   
6. 
   1.5-misolda keltirilgan operatorga teskari operatorni toping. operatorning aniqlanish sohasini toping. tenglik to‘g‘rimi? Agar bu tenglik to‘g‘ri bo‘lmasa, to‘plam fazoning hamma yerida zichmi?
   
7. 
   Ko‘paytirish operatori ning teskarilanuvchan bo‘lishining zarur va yetarli shartini toping.
   
8. 
   Ko‘paytirish operatori ga chegaralangan teskari operator mavjud bo‘lishining zarur va yetarli shartini toping.
   
9. 
   Ko‘paytirish operatori ga teskari operatorni toping. U chegaralangan operator bo‘ladimi?
   
10. 
    Ko‘paytirish operatori ga teskari operator mavjudmi? Bu operatorning yadrosini toping. tenglik to‘g‘rimi? Bu yerda deb sonining butun qismi belgilangan.