Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

TESKARI OPERATOR HAQIDA BANAX TEOREMASI. QO`SHMA OPERATORLAR. EVKLID FAZOSIDA QO`SHMA OPERATORLAR. GILBERT-SHMIDT TEOREMASI. SPEKT VA REZOLVENTA

1.1 Teskari operatorlar

Bizga ni ga akslantiruvchi operator berilgan bo‘lsin. - uning aniqlanish sohasi, esa uning qiymatlar sohasi bo‘lsin.

1.1-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun tenglama yagona yechimga ega bo‘lsa, u holda teskarilanuvchan operator deyiladi.
Agar teskarilanuvchan operator bo‘lsa, u holda ixtiyoriy ga tenglamaning yechimi bo‘lgan yagona element mos keladi. Bu moslikni o‘rnatuvchi operator operatorga teskari operator deyiladi va bilan belgilanadi, hamda
.
Bundan tashqari teskari operatorning aniqlanishidan
(1.1)
tengliklar kelib chiqadi.
Endi akslantirish ni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi chiziqli operator bo‘lsin. Agar operator uchun bo‘lsa, u holda operator operatorga chap teskari operator deyiladi. Xuddi shunday, tenglik bajarilsa, operator ga o‘ng teskari operator deyiladi.
1.1-tasdiq. Agar operator uchun ham chap teskari, ham o‘ng teskari operatorlar mavjud bo‘lsa, u holda ular o‘zaro teng.
Isbot. uchun chap teskari, o‘ng teskari operatorlar bo‘lsin, u holda
(1.2)
1.1-misol. , operatorga chap teskari operatorni toping. o‘ngga siljitish operatori deyiladi.
Yechish. bilan chapga siljitish operatorini belgilaymiz:
.
Endi operatorning elementga ta’sirini qaraymiz.
.
Demak, operator uchun chap teskari operator ekan.
1.2. 1.1-misolda keltirilgan operatorga o‘ng teskari operator mavjudmi?
Yechish. Faraz qilaylik, ga o‘ng teskari operator mavjud bo‘lsin. Uni orqali belgilaymiz. 1.1-tasdiqqa ko‘ra (1.1-misolga qarang) bo‘ladi, ya’ni
.
Endi operatorning elementga ta’sirini qaraymiz.
.
Demak, operator uchun o‘ng teskari operator emas ekan. Bundan uchun o‘ng teskari operatorning mavjud emasligi kelib chiqadi.
1.2-tasdiq. Agar uchun bir vaqtda ham o‘ng teskari, ham chap teskari operatorlar mavjud bo‘lsa, u holda teskarilanuvchan operator bo‘ladi va tenglik o‘rinli.
1.2 tasdiqning isboti 1.1-tasdiq va (1.1) tenglikdan kelib chiqadi.