Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

1.4-teorema. chiziqli normalangan fazoni chiziqli normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli operator berilgan bo‘lsin. da chegaralangan operator mavjud bo‘lishi uchun, shunday son mavjud bo‘lib, ixtiyoriy lar uchun
(1.9)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. mavjud va chegaralangan bo‘lsin, ya’ni
.
U holda
.
Demak, (1.9) shart o‘rinli.
Yetarliligi. (1.9) shartdan operatorning o‘zaro bir qiymatli ekanligi kelib chiqadi. Teskarisini faraz qilaylik, (1.9) shart bajarilsinu o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lmasin. U holda shunday elementlar mavjudki,
.
Bundan ekanligi kelib chiqadi. (1.9) tengsizlikka ko‘ra,
.
Bu yerdan qarama-qarshilikka kelamiz. Demak, - o‘zaro bir qiymatli akslantirish ekan. Shuning uchun, teskari operator mavjud. Endi operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz. (1.9) tengsizlikka ko‘ra,
.
Ixtiyoriy uchun
.
Bu yerdan operatorning chegaralangan ekanligi hamda

tengsizlik kelib chiqadi.
Endi 1.3 va 1.4-teorema shartlarining bajarilishiga doir misollar qaraymiz.
1.5-misol. fazoda ga ko‘paytirish operatorini ya’ni

operatorni qaraymiz. Bu operator 1.3-teorema shartlarini qanoatlantiradimi? teskarilanuvchan operator bo‘ladimi?
Yechish. operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriladi. Endi tenglamani, ya’ni tenglamani qaraymiz. Bu tenglama fazoda faqat yechimga ega. operator 14.3-teorema shartlarini qanoatlantiradi. Demak, - teskarilanuvchan operator, ya’ni ga teskari operator mavjud.