Gidrostatika

2.4. Eyler tenglamasining integrallari. Suyuqlikni nisbiy muvozanati

Suyuqlikni nisbiy muvozanati deb, shu suyuqlikni tashkil qiluvchi zarrachalarini holatini harakatlanayotgan idish devorlariga nisbatan o’zgarmay qolish holatiga aytiladi. Nisbiy muvozanatda ikki masala: bosimi bir xil (o’zgarmas) bo’lgan sirt shaklini aniqlash va bosimni tarqalish xarakterini topish.

Suyuqlik solingan idishni murakkab harakati umuman olganda uchta oddiy harakatlar yig’indisidan iborat bo’ladi: vertikal va gorizontal bo’yicha ilgarilanma va aylanma.

2.4.1. Suyuqlik solingan idishning vertikal bo‘yicha o‘zgarmas
tezlanishli harakat

Nisbiy muvozanatdagi suyuqlikda teng bosimlar sirti shaklini topish uchun gidrostatikaning asosiy differentsial tenglamasi (suyuqlik muvozanati uchun) dan

dr = (Xdx + Ydy + Zdz)


P=const desak, dr = 0 bo’ladi va  = 0 bo’lmaganligi uchun


Xdx + Ydy + Zdz= 0

bo’ladi.

Birlik massadagi hajmiy kuchlarni koordinatalardagi proektsiyasi X=0; Y=0; Z=-q  a. "-" belgisi rezervuarni teng tezlanishli ko’tarilishiga, "+" belgisi esa teng tezlanishli pastga tushishiga to’g’ri keladi.

Teng sirt tenglamasini tuzamiz

(-q  a) dz = 0
bu yerda agar a =q bo’lsa, (-q  a) =0 bo’lganligi uchun dz = 0 bo’lishi kerak. Bunda z  const kelib chiqadi. Bu tenglik, suyuqlik solingan rezervuarni teng tezlanishli harakatida teng bosimlar sirti gorizontal tekislikdan iborat ekanligini ko’rsatadi.

SHu hol uchun bosimni taqsimlanish xarakteri gidrostatikaning asosiy tenglamasidan topiladi.

dr=(Xdx + Ydy + Zdz)=(-q  a) dz

integrallasak,

		r =  (-q  a)z+ C.
Integral doimiysi S ni z = zo da r = ro bo’lishidan topamiz.
		ro - (-q  a) zo = C.
o’rniga qo’ysak
				a 
p  p	0	 g1			z  z	0		(2.4)
					
				^g
Bu tenglama, rezervuarni suyuqlik			bilan birgalikdagi o’zgarmas tezlanishli vertikal bo’yicha
harakatida bosim tarqalishi chiziqli		qonunga			bo’ysunishini ko’rsatadi.

2.4.2. Suyuqlik to‘ldirilgan idishni gorizontal bo‘yicha
o‘zgarmas tezlanishli harakati

Bu holda proektsiyalar а; Y=0; q; bo’ladi. Teng bosimlar sirti quyidagicha topiladi:

(-adx - qdz) = 0
Integrallashdan keyin ах  qz  const yoki z  ^{const  ax}  ^{const  ax}


q q

Bundan ko’rinadiki, teng bosimlar sirti shunday tekislik bo’lib, uni gorizontal tekislikka nisbatan og’ish burchagi  ^_q burchak koeffitsient bilan aniqlanadi.

Bosimni tarqalish qonunini esa gidrostatikaning asosiy differentsial tenglamasini integrallab olinadi. Bu yerda proektsiyalar,

а;

; Y=0;
q;
,
x=q x0., z = z0 da
r = ro ekanligidan

r = ro + (a(x – x0)+ (q (z- z0))
(2.5)

olamiz.

Bu tenglama shuni ko’rsatadiki, agar suyuqlik solingan rezervuar a o’zgarmas tezlanishi bilan gorizont bo’yicha harakatda bo’lganda bosim tarqalishi, xohlagan belgilangan(x = x₁; x = x₂) vertikal uchun chiziqli qonunga bo’ysunadi. Bu tenglamani gidrostatikaning asosiy tenglamasi shakli
r = r₀ + g (z₀ – z) da

ham yozish mumkin. Bunda r₀  = r₀ + a (x₀ – x).

2.1-rasm.


2.4.3. Suyuqlik solingan idishning o‘z o‘qi
atrofida tekis aylanishi

Injener amaliyotida idish ichiga to’ldirilgan suyuqlikni nisbiy muvozanati, ya’ni idish o’zi

harakatda bo’lsa ham uni ichidagi suyuqlik zarrachalari o’z holatlarini o’zgartirmay balki bir qattiq
jism kabi harakat qiladigan masalalar ko’p uchraydi. Bu holda suyuqlik zarralari markazdan qochma
kuch va og’irlik kuchlari ta’sirida bo’ladi.

Markazdan qochma kuch quyidagiga teng:

F_u  ^mu_r ²  m² r

Uning proektsiyalari esa quyidagicha topiladi:

F_ux = m²x, F_uy = m²y.

SHuning uchun birlik massa kuchlar quyidagilarga teng:

X=²x; Y=²y;. g;

Bularni (2.3) ga qo’ysak, quyidagi tenglamani olamiz:

²xdx + ²ydy - gz = 0

Uni integrallasak

• 
  ^{2 x2} _{ }2 _y 2 _{ gz  const} 2
  

bo’ladi.
Lekin x² +y² =r² bo’lgani uchun

• 
  ^{2 r}  gz  const
  

2

Bu bosimi teng sirtning tenglamasidir. Bu sirt aylanma paraboloid ekanligi ko’rinib turibdi. SHunday qilib, bosimi teng sirtlar o’qi vertikal bo’lgan aylanma paraboloidlar oilasidan iborat. Bu sirtlar vertikal bilan kesishganda o’qi Oz da bo’lgan parabolalar, gorizontal tekisliklar bilan kesishganda esa markazi Oz da bo’lgan kontsentrik aylanalar hosil qiladi.

2.5. Gidrostatikaning asosiy tenglamasi.

Tinch turgan idishdagi suyuqlikni qaraymiz. Bu suyuqlikka og’irlik kuchi ta’sir etadi. Koordina o’qlarini Oz vertikal yuqoriga yo’naladigan qilib yo’naltiramiz (2.2-rasm). Ko’rilayotgan idish ichida biror xOy tekisligidan z masofada, erkin sirtdan esa H masofada joylashgan biror A nuqtani olamiz. U holda birlik massa kuchlarining bu koordinata sistemasidagi proektsiyalari quyidagicha bo’ladi:

X = 0; Y = 0; g;


2.2-rasm. Gidrostatikaning asosiy tenlamasmga doir chizma

Gidrostatik bosim r, suyuqlikning erkin sirtidagi bosim r₀ bo’lsin, erkin sirt XOy tekisligidan esa z₀ masofada joylashgan bo’lsin. Bu holda gidrostatikaning asosiy tenglamasi quyidagicha yoziladi:

^_^_х  0 ; ^_^_y  0 ; ^_^_z  pg ;

Birinchi va ikkinchi tenglamalardan bosimning x va y koordinatalarga bog’liq emas ekanligi kelib chiqadi. U holda uchinchi tenglamadan quyidagini olamiz:

dp = - g dz

Oxirgi tenglamani erkin sirtdan z nuqtagacha bo’lgan oraliq uchun integrallaymiz va quyidagi tenglamani chiqaramiz:

p – p₀ = - g (z – z₀).


z–z₀ ning qiymati h ga teng bo’lgani uchun so’nggi tenglama quyidagicha yoziladi:

p = p0 +gh	(2.6)
yoki
p = p0 +h	(2.7)

Bu gidrostatikaning asosiy tenglamasi deb ataladi va suyuqlikning ixtiyoriy nuqtasidagi bosimni, suyuqlik turi va olingan nuqtaning erkin sirtidan qanday masofada ekanligiga qarab aniqlaydi. Gidrostatikaning asosiy tenglamasi quyidagi qonuniyatni ifodalaydi: suyuqlik ichidagi ixtiyoriy nuqtadagi bosim suyuqlik erkin sirtidagi bosim r₀ va shu nuqtadagi suyuqlik ustunining bosimi ( h) yig’indisiga teng.

2.6. Absolyut manometrik vakuummetrik va atmosfera bosimlari

Suyuqlikdagi ixtiyoriy nuqtaning gidrostatikaning asosiy tenglamasi yordamida aniqlanadigan bosim r shu nuqtaning absolyut bosimi deb ataladi. Suyuqlikning erkin sirtidagi bosimi r_o erkin sirtdagi absolyut bosimdan iborat, h esa suyuqlik ustunining nuqtadagi bosimidan iborat.

Usti yopilmagan idishlarda, suv sig’imlari suyuqliklarning erkin sirtiga ta’sir qiluvchi bosim atmosfera bosimi deb ataladi va r_a harfi bilan belgilanadi.
Bu holda absolyut bosim


r = r_a + gh yoki r = r_o + h

tenglama orqali aniqlanadi.

Agar suyuqlik nuqtasidagi bosim atmosfera bosimidan katta (r>r_a) bo’lsa, h monometrik bosim deb ataladi va quyidagicha aniqlanadi:

rm = h = r - ra

(2.8)

Monometrik bosim absolyut bosim bilan atmosfera bosimining ayirmasiga teng bo’lgani uchun uni ortiqcha bosim deb ham atash mumkin. Monometrik bosim absolyut bosimning miqdoriga qarab

har xil qiymatga ega bo’ladi, Masalan: r = r₀ bo’lganda r_m = 0; r  ∞ bo’lganda r_m ∞, ya’ni monometrik bosim 0 dan ∞ o’rtasidagi barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin.

Agar suyuqlikdagi biror nuqtaning absolyut bosimi atmosfera bosimidan kichik bo’lsa, (r_a) bo’lsa, ularning ayirmasi vakuummetrik bosim r_v ga teng bo’ladi va suyuqlikning siyraklanish miqdorini belgilaydi.

rv = h = ra - r

(2.9)

Vakuummetrik bosim nuqtadagi bosimning atmosfera bosimidan kamligini ko’rsatadi va r = r_a da r_v  0; r 0 da esa r_v  r_a bo’ladi. SHunday qilib, vakuumetrik bosim 0 dan r_a gacha bo’lgan qiymatda bo’ladi.