Ga misollar. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

Rasmiy ta'rif
Evklid fazosini aniqlash uchun asosiy tushuncha sifatida skalyar mahsulot tushunchasini olish oson. Evklid vektor fazosi haqiqiy sonlar maydoni ustidagi chekli o'lchovli vektor fazosi sifatida aniqlanadi, vektorlarida haqiqiy qiymatli funktsiya berilgan. (\ cdot, \ cdot), quyidagi uchta xususiyatga ega:

• 
  Billinearlik: har qanday vektorlar uchun u, v, w va har qanday haqiqiy raqamlar uchun a, b \ quad (au + bv, w) = a (u, w) + b (v, w) va (u, av + bw) = a (u, v) + b (u, w);
  
• 
  Simmetriya: har qanday vektorlar uchun u, v \ quad (u, v) = (v, u);
  
• 
  Ijobiy aniqlik: har qanday uchun u \ quad (u, u) \ geqslant 0, bundan tashqari (u, u) = 0 \ O'ng strelka u = 0.
  

Evklid fazosiga misol - koordinatali fazo \ mathbb R ^ n, haqiqiy sonlarning barcha mumkin bo'lgan kortejlaridan iborat (x_1, x_2, \ ldots, x_n), formula bilan aniqlanadigan nuqta mahsuloti (x, y) = \ sum_ (i = 1) ^ n x_iy_i = x_1y_1 + x_2y_2 + \ cdots + x_ny_n.
Uzunlik va burchaklar
Evklid fazosida berilgan skalyar mahsulot uzunlik va burchakning geometrik tushunchalarini kiritish uchun yetarli. Vektor uzunligi u sifatida belgilangan \ sqrt ((u, u)) va belgilandi | u |. Skayar ko'paytmaning ijobiy aniqligi nolga teng bo'lmagan vektor uzunligi nolga teng emasligini kafolatlaydi va ikki chiziqlilik shuni anglatadiki | au | = | a || u |, ya'ni proportsional vektorlarning uzunliklari proporsionaldir.
Vektorlar orasidagi burchak u va v formula bilan aniqlanadi \ varphi = \ arccos \ chap (\ frac ((x, y)) (| x || y |) \ o'ng). Kosinus teoremasidan kelib chiqadiki, ikki o'lchovli Evklid fazosi uchun ( evklid tekisligi) bu ta'rif burchak odatdagiga to'g'ri keladi. Ortogonal vektorlar, uch o'lchovli fazoda bo'lgani kabi, vektorlar sifatida ham aniqlanishi mumkin, ularning orasidagi burchak tengdir. \ frac (\ pi) (2).
Koshi - Bunyakovskiy - Shvarts tengsizligi va uchburchak tengsizligi
Yuqorida berilgan burchak ta'rifida bitta bo'sh joy qoldi: maqsadida \ arccos \ chap (\ frac ((x, y)) (| x || y |) \ o'ng) aniqlandi, bu tengsizlik zarur \ left | \ frac ((x, y)) (| x || y |) \ o'ng | \ leqslant 1. Bu tengsizlik haqiqatan ham ixtiyoriy Evklid fazosida mavjud bo'lib, u Koshi - Bunyakovskiy - Shvarts tengsizligi deb ataladi. Bu tengsizlik, o'z navbatida, uchburchak tengsizligini anglatadi: | u + v | \ leqslant | u | + | v |. Uchburchak tengsizligi, yuqorida sanab o'tilgan uzunlik xususiyatlari bilan birga, vektor uzunligi Evklid vektor fazosida norma ekanligini anglatadi va funktsiya d (x, y) = |x-y | Evklid fazosida metrik fazoning strukturasini belgilaydi (bu funktsiya Evklid metrikasi deb ataladi). Xususan, elementlar orasidagi masofa (nuqta) x va y koordinatali bo'shliq \ mathbb R ^ n formula bilan beriladi d (\ mathbf (x), \ mathbf (y)) = \ | \ mathbf (x) - \ mathbf (y) \ | = \ sqrt (\ sum_ (i = 1) ^ n (x_i - y_i) ^ 2).