Ga misollar. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

Ortonormal asoslar
Konjugat bo'shliqlar va operatorlar
Har qanday vektor x Evklid fazosi chiziqli funksionalni belgilaydi x ^ * sifatida belgilangan ushbu bo'shliqda x ^ * (y) = (x, y). Bu taqqoslash Evklid fazosi va uning ikkilamchi fazosi o'rtasidagi izomorfizm bo'lib, ularni hisob-kitoblarni buzmasdan aniqlash imkonini beradi. Jumladan, qo'shilgan operatorlarni uning ikkilamchi bo'shlig'ida emas, balki asl bo'shliqda ishlovchi sifatida ko'rish mumkin, o'z-o'zidan qo'shilish operatorlari esa ularning qo'shilgan operatorlari bilan mos keladigan operatorlar sifatida belgilanishi mumkin. Ortonormal asosda qo'shma operatorning matritsasi dastlabki operatorning matritsasiga ko'chiriladi va o'z-o'zidan qo'shilish operatorining matritsasi simmetrikdir.
Evklid fazo harakatiga misollar
Bo'shliqlar Evklid bo'shliqlarining yorqin misollari bo'lishi mumkin:

• 
  \ mathbb E ^ 1 o'lchamlari 1 (haqiqiy chiziq)
  
• 
  \ mathbb E ^ 2 o'lchamlari 2 (evklid tekisligi)
  
• 
  \ mathbb E ^ 3 o'lchamlari 3 (evklid uch o'lchovli fazo)
  

Yana mavhum misol:

• 
  haqiqiy polinom fazosi p (x) darajadan oshmaydi n, mahsulotning cheklangan segment (yoki butun to'g'ri chiziq bo'ylab, lekin tez kamayib boruvchi og'irlik funksiyasi bilan, masalan, integrali) sifatida aniqlangan nuqta mahsuloti bilan e ^ (- x ^ 2)).
  

Ko'p o'lchovli Evklid fazosida geometrik shakllarga misollar

• 
  Muntazam ko'p o'lchovli politoplar (xususan, N o'lchovli kub, N o'lchovli oktaedr, N o'lchovli tetraedr)
  

Tegishli ta'riflar

• 
  ostida Evklid metrikasi yuqorida tavsiflangan metrikani, shuningdek, tegishli Riman ko'rsatkichini tushunish mumkin.
  

• 
  Mahalliy Evklid deganda, odatda, Riman manifoldining har bir teginish fazosi Evklid fazosi bo'lib, undan keyingi barcha xossalarga ega ekanligini, masalan, nuqtaning kichik qo'shnisiga koordinatalarni kiritish imkoniyatini (metrikaning silliqligi nuqtai nazaridan) tushunamiz. masofa yuqorida ta'riflanganidek (ba'zi kattalik tartibiga qadar) ifodalanadi.
  

• 
  Metrik fazo, agar metrikasi Evklid (ikkinchi ta'rif ma'nosida) hamma joyda (yoki hech bo'lmaganda cheklangan mintaqada) bo'lgan koordinatalarni kiritish mumkin bo'lsa, mahalliy Evklid deb ataladi - bu, masalan, Nolinchi egrilikning Riman manifoldi.