Ga misollar. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

Evklid fazosining ta'rifi

Ta'rif 1. Haqiqiy chiziqli fazo deyiladi evklid, agar u har qanday ikkita vektorni bog'laydigan operatsiyani belgilaydi x va y bundan fazoda vektorlarning skalyar ko'paytmasi deb ataladigan son x va y va tayinlangan(x, y) buning uchun quyidagi shartlar bajariladi:
1. (x, y) = (y, x);
2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z), bu erda z- berilgan chiziqli fazoga tegishli har qanday vektor;
3. (? X, y) =? (x, y), qayerda ? - istalgan raqam;
4. (x, x)? 0 va (x, x) = 0 x = 0.
Masalan, bir ustunli matritsalarning chiziqli fazosida vektorlarning skalyar ko'paytmasi

formula bilan aniqlanishi mumkin

Evklid o'lchov fazosi n Enni belgilang. e'tibor bering, bu ham chekli o'lchovli, ham cheksiz o'lchovli Evklid bo'shliqlari mavjud.
Ta'rif 2. X vektorining uzunligi (modul). Evklid fazosida En deyiladi (x, x) va uni quyidagicha belgilang: | x | = (x, x)... Evklid fazosidagi har bir vektoruzunlik mavjud va nol vektor u nolga teng.
Nolga teng bo'lmagan vektorni ko'paytirish x raqami bo'yicha , biz vektorni olamiz, uzunlik qaysi biriga teng. Ushbu operatsiya deyiladi ratsion vektor x.
Masalan, bir ustunli matritsalar fazosida vektor uzunligi formula bilan aniqlash mumkin: 

Evklid fazo normasi

Ta'rif 1 . Chiziqli fazo?chaqirdi metrik agar mavjud bo'lsa bu bo'shliqning ikkita elementi x va y manfiy bo'lmagan tayinlanganraqam? (x, y) orasidagi masofa deyiladi x va y , (? (x, y)? 0) vashartlar (aksiomalar):
1) ? (x, y) = 0 x = y
2) ? (x, y) = ? (y, x)(simmetriya);
3) har qanday uchta vektor uchun x, y va z bu bo'shliq? (x, y) ? ? (x, z) + ? (z, y).
Izoh. Metrik fazoning elementlari odatda nuqtalar deb ataladi.
Evklid fazosi En metrik va orasidagi masofa sifatida vektorlar x? En va y? En olish mumkin x ? y.
Shunday qilib, masalan, bir ustunli matritsalar fazosida, qaerda

shuning uchun