Funksiyaning uzluksizligi

4-ma’ruza: Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning differensial hisobi.

Funksiyaning uzluksizligi

1.Argument va funksiyaning ortirmasi

funksiya intervaldaaniqlangan bo’lsin. Ixtiyoriy nuqtani olamiz, unga funksiyaning ) qiymati mos keladi ( 69- shakl ). Boshqa nuqtani olamiz, unga funksiyaning qiymati mos keladi. ayirma argumentning nuqtadagi ortirmasi deyiladi va bilan belgilanadi. ayirma funksiyaning argument orttirmasi ga mos orttirmasideyiladi va bilan belgilanadi. Shunday qilib , . 69-shakl.

Bundan u holda

va orttirmalarni egri chiziq bo’ylab harakatlanayotgan nuqta kordinatalarning o’zgarishi deb ataladi.
2.Funksiyaning nuqtadagi uzliksizligi
funksiya nuqtada va uning atrofida aniqlangan
bo’lib
ya’nifunksiyaning nuqtadagi limiti uning shu nuqtadagi qiymatiga teng bo’lsa,
funksiya nuqtada uzluksiz deb atalad Bu tariff quyidagi tarifga teng kuchli.

70-shakl.

Agar funksiya nuqtada va uning atrofida aniqlangan bo’lib, istalgan uchun shunday mavjud bo’lsaki, shartni qanoatlantiradigan istalgan uchun

(2)

Tengsizlik to’ri bo’lsa funksiya nuqtada uzluksiz deb ataladi.

Agar (12.2) tengsizlikni quyidagi

ko’rinishida yozsak, undan

kelib chiqadi.Shunday qilib , 1-tarif ushbu tarifga teng kuchli. Quyidagi tarif ham yuqoridagilarga teng kuchlidir.
3-tarif Agar funksiya nuqtada va uning atrofida aniqlangan bo’lib, argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning cheksiz kichik ortirmasi mos kelsa, yani
(3)
Bo’lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi. 70-shakl funksiya nuqtada uzliksiz, chunki (12.3) shart bajariladi, 71-shakl esa funksiya nuqtada uzliksiz emas , chunki bu shart bajarilmagan.
1-misol . = funksiya . Bu funksiya barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlangan.

Demak, . Shunday qilib, , demak, funksiya nuqtada uzliksiz, 1-ta’rif va (12.1) formulaga qaytaylik. Funksiyaning nuqtadagi bir tomonlama limitlari o’zaro teng bo’lganda , ya’ni

da va faqat shundagina funksiyaning limitmavjudligi ma’lum. Shu sababli 1-tarif tengkuchli. 71-shakl
Funksiyaning chap va o’ng limitlari damavjud va o’zaro teng bo’lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Bu tarifdan ko’rinadiki:
1) funksiya nuqtada va uning atrofida aniqlangan,
2) bir tomonlama limitlar mavjud va ular o’zaro teng:
;

1. 
   bu umumiy limit funksiya ning nuqtadagi limitiga teng.
   

Yana (12.1) tarifga qaytamiz va uni bunday qayta yozamiz:

Ushbu da’vo buning natijasidir.
Agar funksiyaning nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda bu nuqtada
limit va funksiya belgisining o’rinlarini almashtirish mumkin.
2-misol.