Funksiyaning uzluksizligi

Yuqori tartibli differensiallar. Invariantlik shaklining
buzilishi.
funksiyani qaraymiz, bunda -erkli o`zgaruvchi. Bu funksiyaning
= (1)
differensiali yana ning funksiyasidir, bunda birinchi ko`paytuvchi ga bog`liq bo`lishi mumkin, ikkinchi ko`paytuvchi esa argumentning orttirmasiga teng bo`lib, ga bog`liq emas, shu sababli bu funksiyaning differensiali haqida gapirish mumkin.
1-ta`rif. Funksianing differensialidan olingan differensial ikkinchi tartibli differensial yoki ikkinchi differensial deyiladi va deb belgilanadi. Shunday qilib,

2-ta`rif. Ikkinchi tartibli differensialdan olingan differensial uchinchi tartibli differensial yoki uchinchi differensial deyiladi va deb belgilanadi. Shunday qilib,

3-ta`rif. -tartibli differensialdan olingan differensial - tartibli differensial deyiladi va deb belgilanadi. Shunday qilib,

Yuqori tartibli differensiallarni xosilalar orqali ifodalaymiz. Ikkinchi differensialining ifodasini topamiz:
(
(bu ifodani chiqarishda ifoda ga bog`liq emasligidan foydalandik). Shunday qilib:
= . (2)
Bu yerda chunki differensial darajasini yozishda qavslarni tushirib qoldirish qabul qilingan. Bundan keyin o`rniga deb yozamiz va bu ifodaning qubi deb tushunamiz.
Uchinchi differensialning ifodasini ham shunga o`xshash topamiz:
( )=( = .
Shunday qilib,
= . (3)
Bu jarayonni davom ettirib, differensial ifodasini topamiz:

Shunday qilib,
(4)
Yuqori tartibli differensiallardan foydalanib, (1-4) fo`rmulalar yordamida har qanday tartibli xosilani differensiallarning nisbati sifatida tasvirlash mumkin, chunonchi:
, . . . ,
Hozirga qadar hamma fo`rmulalarda o`zgaruvchi erkli bo`lib keldi. Endi oraliq argument bo`lsin, ya`ni

murakkab funksiyaga ega bo`laylik, bunda . Bu holda ham differensial shakli saqlanishini tekshirib ko`ramiz. Biz bilamizki, birinchi tartibli differensial, erkli o`zgaruvchi yoki oraliq funksiya bo`lishiga qaramay, o`z shaklini saqlaydi, ya`ni
= bunda =
Ikkinchi differensial uchun ifoda topamiz:
(5)
(5) va (2) fo`rmulalarni taqqoslab, murakkab funksiya ikkinchi differensiali (2) shaklga ega emas deyish mumkin.
Shunga o`xshash, ikkinchi differensialdan boshlab, keyingi differensiallarning hammasi differensial shakli invariantligi xossasiga ega bo`lmaydi, deyish mumkin. Invariantlik xossasi faqat birinchi tartibli differensial uchun o`rinli.
1-misol. funksiyaning va larini toping, -erkli o`zgaruvchi.
Yechish.
2-misol. murakkab funksiyaning va larini toping, bunda
Yechish. chunki = chunki
Shunday qilib fo`rmula o`rinli.