Funksiyaning uzluksizligi

6. Trigonometrik funksiyalarning hosilalari. a) (sinu)' =
= sos u  u' ekanini isbotlaymiz, bunda u = (x) differensiallanuvchi funksiya.
u = sinx funksiyani qaraymiz. x ga x orttirma beramiz, u holda funksiya u orttirma oladi:

Ushbu

nisbatni tuzamiz. x — 0 da limitga o‘tib va ekanini hissbga olib,

ga ega bo‘lamiz. SHunday qilib, u = sinx = sosx.
Agar u = sinx (bunda u = (x)) bo‘lsa, u holda murakkab funksiyani differendiallash qoidasiga ko‘ra:
(sinu) = cosu u
3-misol. u = sinx² funkskyaning hosilasini toping.
u' = u = cosx²  2x.
4-misol. u = sin²x funksiyanng hosilasini toping.
u' =2sinx  cosx = sin2x.
b) (cosu)' = —sin u • u' ekanini isbotlaymiz.
keltirish formulasidan foydalanib, hosilani topamiz:

shunday qilib, (cosu)' = —sin u • u' .
6-misol. Agar bo‘lsa, u holda:
7-misol. u = lnctgx bo‘lsa, u holda:

d) Quyidagilarni ham shularga o‘xshash isbotlash mumkin:
va
yoki
yoki
7. Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari.
a) ekanini isbotlaymiz.
Uzluksiz, differensiallanuvchi, lar uchun o‘suvchi x = siny funksiyani qaraymiz. Uning qiymatlar sohasi [—1,1]dan iborat. Bu funksiya laruchun aniqlangan, qiymatlari bo‘lgan teskari funksiyaga ega.
Teskari funksiyaning differensiallanuvchanligi haqidagi teoremaga ko‘ra .
SHunday qilib:
lar uchun sosy>0 bo‘lgani sababli ishora “+”olindi. Demak,
Agar u = arcsinu bo‘lsa, bunda u = (x) — differensiallanuvchi funksiya, u holda murakkab funksiyani differensiallash qoidasiga binoan:

b) ekanini ham shunga o‘xshash isbotlash mumkin.
v) ekanini isbotlaymiz.
x = tgu uzluksiz, differensiallanuvchi, uchun o‘suvchi funksiyani qaraymiz, uning qiymatlari sohasi (—; +) dan iborat. Bu funksix(—; +) uchun aniqlangan u = arctgx teskari funksiyaga ega, uning qiymatlari: . Endi y_x ni topamiz:

Demak, Agar u = arctgu bo‘lsa (bunda u = (x) differensiallanuvchi funksiya), u holda
g) ekanini x.am shunday isbotlash mumkin.
8-misol. Agar u = arcsin²x bo‘lsa, u holda: u' = 2ags zsh%
9-misol. Agar u = arctge^-x bo‘lsa, u holda: