Bir va ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning differensial hisobi

Bir va ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning differensial hisobi


funksiyaning M₀ nuqtadagi gradienti deb, koordinata-lari M₀ nuqtadagi funksiyaning mos xususiy hosilalar qiymatlariga teng bo`lgan n o`lchovli vektorga aytiladi va ko`rinishda yoziladi:

1-misol. funksiyaning M₀(1;-1) nuqtadagi gradientini toping.
Yechish. , ,


,
Demak, grad =(-18, -1) ga teng bo`ladi.
Gradientning asosiy hossasi:
funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo`lib, - n o`lchovli birorta nolmas vektor bo`lsin. nuqtani qaraymiz. U holda, agar:
1) ushbu skalyar ko`paytma bo`lsa, u holda shunday T₁ > 0 son mavjud bo`ladiki, barcha t, 0 < t < T<sub>1</sub> lar uchun < tengsizlik bajariladi;
2) skalyar ko`paytma bo`lsa, u holda shunday T<sub>2</sub> > 0 soni mavjud bo`ladiki, barcha t, 0 < t < T₂ lar uchun > tengsizlik bajariladi.
Berilgan funksiyaning nuqtada erishadigan qiymatidan katta bo`ladigan nuqtani topish uchun quyidagicha ish tutamiz:
1) ko`chish yo`nalishini tanlaymiz, ya`ni shunday vektor topamizki, natijada bo`lsin;
2) nuqtani qaraymiz va t > 0 parametrni shunday tanlaymizki, > bo`lsin.
2-misol. funksiyaning M₀(-1;1) nuqtadagi qiymatidan katta bo`ladigan nuqtani toping.
Yechish. Funktsiyaning gradientini topamiz:
. M<sub>0</sub> nuqtadagi qiymati
bo`ladi. Agar  = (1,-1) bo`lsa, u holda bo`ladi. M_t(-1 + t; 1- t) nuqtani qaraymiz. U holda = - 8t²+32t-22 ga teng bo`ladi va t = 2 da ga teng. Demak, t = 2 da funksiya eng katta qiymatga erishadi. Agar t = 2 bo`lsa, M_t(1,-1) bo`ladi va bu nuqtada = 10 ga teng. M<sub>0</sub> nuqtada esa = - 22 ga teng edi.
Bir necha o`zgaruvchi funksiyaning ekstremumini topish gradientlar usulida gradientning asosiy xossasidan foydalaniladi.
2. Yuqori tartibli xususiy hosilalar
Faraz qilaylik, M₀ nuqta va uning atrofida funksiya xususiy hosilaga ega bo`lsin.
Birinchi tartibli xususiy hosilalardan x<sub>i</sub> o`zgaruvchilar bo`yicha M<sub>0</sub> nuqtada olingan xususiy hosilalar ikkinchi tartibli xususiy hosilalar deb aytiladi va quyidagicha belgilanadi: . Turli o`z-garuvchilar bo`yicha olingan xususiy hosilalarga aralash xususiy hosilalar deyiladi. Xuddi shuningdek, ikkinchi tartibli xususiy ho-silalardan olingan xususiy hosilalar uchinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi va h.k.
3-misol. funksiyaning barcha ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping.
Yechish.
a) birinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz:


;
b) ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz:
,
,
.
3. Funktsiyaning lokal ekstremumlari. Statsionar nuqta. Ekstre-mumning zaruriy sharti.
funksiya M₀ nuqta r atrofi S_r(M₀) da aniqlangan bo`lsin.
Agar M<sub>0</sub> nuqtaning S<sub>r</sub>(M<sub>0</sub>) atrofiga tegishli barcha lar (M  M<sub>0</sub>) uchun < ( > ) munosabatlar bajarilsa, M<sub>0</sub> nuqta lokal minimum (maksimum) nuqta deyiladi.
Lokal maksimum va minimum nuqtalarga funksiyaning lokal ekstremum nuqtalari deb ataladi.
Agar nuqtada funksiyaning gradienti nol vektor bo`lsa, ya`ni

u holda bu nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi.
4-misol. funksiyaning statsionar nuqtasini toping.
Yechish: Ikki o`zgaruvchili funksiyaning ixtiyoriy gradienti nuqtada
ga teng.
bo`lishi uchun bajarilishi kerak. Sistema yechimi , demak M₀(-1;4) statsionar nuqta.


Funktsiya ekstremumining zaruriy sharti
Agar differensiallanuvchi funksiya M₀ nuqtada ekstre-mumga ega bo`lsa, u holda uning shu nuqtadagi xususiy hosilalari nolga teng bo`lish zarur:
, .
Ikki o`zgaruvchili funksiya ekstremumining yetarli sharti
Ikki o`zgaruvchili funksiya uchun quyidagi belgilashlar kiritaylik:
va bo`lsin.
U holda:
1) agar B<sup>2</sup>-AC<0 bo`lsa, M₀ statsionar nuqta lokal ekstremum nuqtasi bo`lib,
a) A < 0 bo`lsa, maksimum nuqtasi;
b) A > 0 bo`lsa, minimum nuqtasi.

2) agar B²-AC > 0 bo`lsa, u holda M<sub>0</sub> statsionar nuqta ekstremum nuqtasi bo`lmaydi;

3) agar B²-AC = 0 bo`lsa, u holda bu nuqta ekstremum nuqtasi bo`lishi ham, bo`lmasligi ham mumkin. Masala yechimi qo`shimcha tekshirishni talab etadi.