Funksiyaning monotonligi, ekstremumni topish. Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati. Funksiyaning qavariq va botiqligi

Funksiyaning monotonligi, ekstremumni topish. Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati. Funksiyaning qavariq va botiqligi

Differensial hisobning asosiy vazifalardan biri funksiyalarni tekshiririshning umumiy usullarini ishlab chiqishdir.

Agar funksiya argumentining oraliqdagi katta qiymatiga funksiyaning katta(kichik) qiymati mos kelsa, ya’ni bo‘lganda bo‘lsa, u holda bu funksiya shu oraliqda o‘suvchi(kamayuvchi) deyiladi.
1-teorema. Agar kesmada hosilaga ega bo‘lgan funksiya shu kesmada o‘suvchi(kamayuvchi) bo‘lsa, uning hosilasi kesmada manfiy(musbat) bo‘lmaydi, ya’ni .


2-teorema. Agar kesmada uzluksiz va oraliqda differensiallanuvchi funksiya uchun da bo‘lsa, bu funksiya da o‘suvchi(kamayuvchi) bo‘ladi.
Biror oraliqdan olingan ixtiyoriy uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda funksiya shu oraliqda kamaymaydigan(o‘smaydigan) funksiya deyiladi.
Funksiyaning kamaymaydigan yoki o‘smaydigan oraliqlari uning monotonlik oraliqlari deyiladi.
Funksiyaning hosilasi nolga teng bo‘ladigan va mavjud bo‘lmaydigan nuqtalar kritik nuqtalar deyiladi.


1-misol
Ushbu funksiyaning kritik nuqtasini, o‘sish va kamayish oraliqlarini toping.
►Funksiya qiymatlarda aniqlangan, hosilasi . Kritik nuqtasini topamiz: .
Agar , ya’ni bo‘lsa, funksiya o‘suvchi bo‘ladi. Demak, oraliqda funksiya o‘suvchi ekan.
Agar yoki bo‘lsa, funksiya kamayuvchi bo‘ladi. Demak, oraliqda funksiya kamayuvchi ekan.◄
Agar absolyut miqdori bo‘yicha yetarlicha kichik bo‘lgan ixtiyoriy x uchun bo‘lsa, nuqta funksiyaning maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi. Funksiyaning maksimum(minimum) nuqtalardagi qiymatlari esa maksimum (minimum) qiymatlari deyiladi.
Maksimum va minimum nuqtalari funksiyaning ekstremumlari, maksimal va minimal qiymatlari esa funksiyaning ekstremal qiymatlari deyiladi.
3-teorema. Agar differensiallanuvchi funksiya nuqtada maksimumga yoki minimumga ega bo‘lsa, u holda bo‘ladi yoki mavjud bo‘lmaydi.

Bu ekstremumning zaruriy shartidir. Chunki funksiya biror nuqtada ekstremumga erishsa, shu nuqta har doim kritik nuqta bo‘ladi. Ammo har bir kritik nuqta ham ekstremum nuqta bo‘la olmaydi. Masalan, funksiyadagi nuqta.

_Quyida biz funksiya ekstremumining ikkita yetarlilik sharti bilan tanishamiz